4昭和大学 2020年 数学 第4問解答・解説

A_Q4 — MM-9c7dc39ac663-Q4

(1)

対数の真数条件から $5x-7>0$、すなわち $\displaystyle x>\frac75$ である。この範囲で $$\displaystyle y=\log_3(5x-7)=\frac{\ln(5x-7)}{\ln3}$$ だから、合成関数の微分により $$\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\ln3}\cdot\frac{5}{5x-7} =\frac{5}{(5x-7)\ln3}.$$

(2)

条件に $n=k+1$ を代入すると、各整数 $k=1928,\ldots,2019$ に対して $$\displaystyle \int_k^{k+1}f(x)\,dx=k+1.$$ 積分区間をこれらの区間に分け、定積分の加法性を用いれば $$\displaystyle \int_{1928}^{2020}f(x)\,dx =\sum\limits _{n=1929}^{2020}n =\frac{(1929+2020)\cdot92}{2} =181654.$$

(3)

第一の曲線を $\displaystyle y_1=2\sqrt{1-\frac{x}{7}}$ とする。共通部分では $0\le x\le7$ なので $$\displaystyle u=\sqrt{\frac{x}{7}}\quad(0\le u\le1)$$ とおける。このとき第一の曲線は $$y_1=2\sqrt{1-u^2}.$$ 第二の曲線の式から $\sqrt[3]{y/2}=1-u$、したがって $$y_2=2(1-u)^3.$$ 端点 $u=0,1$ では二曲線はそれぞれ $y=2,0$ で交わる。$0<u<1$ では $$1-u^2=(1-u)(1+u)>(1-u)^6$$ である。ここで最後の不等式は $1+u>1>(1-u)^5$ による。両曲線の $y$ 座標は非負なので $y_1>y_2$ であり、第一の曲線が外側、第二の曲線が内側となる。

したがって $x$ 軸のまわりに回転した立体の体積は、円板の差を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_0^7\left\{4\left(1-\frac{x}{7}\right) -4\left(1-\sqrt{\frac{x}{7}}\right)^6\right\}dx. \end{aligned}$$ $x=7u^2$ とおくと $dx=14u\,du$ であるから $$\displaystyle \begin{aligned} V &=56\pi\int_0^1\left\{u(1-u^2)-u(1-u)^6\right\}du\\ &=56\pi\left\{\left(\frac12-\frac14\right) -\left(\frac17-\frac18\right)\right\}\\ &=56\pi\left(\frac14-\frac1{56}\right) =13\pi. \end{aligned}$$ 第二の積分は $t=1-u$ と置けば $\displaystyle \int_0^1u(1-u)^6du=\int_0^1(1-t)t^6dt=\frac17-\frac18=\frac1{56}$ となる。

使用解法

対数関数の微分と合成関数の微分、定積分の加法性と等差数列の和、置換積分、および回転体の断面積（円板・円環）による体積を用いた。