3東京慈恵会医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 条件より，奇数の自然数 $k$ を用いて $a=2^n k$ と書ける。 また $b$ は $4$ の倍数ではないので，奇数の場合と，$b=2c$（$c$ は奇数の自然数）の場合に分けられる。

$b$ が奇数のとき，$2a+b$ は奇数であるから， $$2a(2a+b)=2^{n+1}k(2a+b)$$ は $2^{n+1}$ と奇数の積である。したがって $2^{n+1}$ の倍数であるが，$2^{n+2}$ の倍数ではない。

$b=2c$（$c$ は奇数）のとき，$n\geq2$ より $2^{n-1}k$ は偶数なので，$2^{n-1}k+c$ は奇数である。よって $$a(a+b)=2^nk(2^nk+2c)=2^{n+1}k(2^{n-1}k+c)$$ も $2^{n+1}$ と奇数の積であり，$2^{n+2}$ の倍数ではない。 以上で，いずれの場合も所要の主張が示された。

(2) 任意に自然数 $n\geq3$ をとる。まず，自然数 $a_n$ を選んで $$a_n(a_n+b)=2^n M\qquad(M\text{ は奇数の自然数})$$ とできれば， $$\displaystyle \frac{a_n(a_n+b)}{2^{2n}}=\frac{M}{2^n} =\frac{5^n M}{10^n}$$ となる。$5^nM$ は奇数であり，かつ $5$ の倍数なので，その一の位は $5$ である。したがって，この整数の小数点を左に $n$ 桁動かして得る有限小数は，小数第 $n$ 位が $5$ であり，それより後の桁はすべて $0$ となる。特に，小数第 $n$ 位より前で終わることもない。

そこで，次のように $a_n$ を構成する。 $$\boxed{\quad a_n=\begin{cases} 2^n & (b\text{ が奇数のとき}),\\ 2^{n-1} & (b\text{ が偶数のとき}). \end{cases}\quad}$$ いずれも自然数である。$b$ が奇数のときには $$a_n(a_n+b)=2^n(2^n+b)$$ であり，$M=2^n+b$ は奇数の自然数となる。 一方，$b$ が偶数ならば条件より $b=2c$ と書け，$c$ は奇数の自然数である。このとき $$a_n(a_n+b) =2^{n-1}(2^{n-1}+2c) =2^n(2^{n-2}+c).$$ $n\geq3$ より $2^{n-2}$ は偶数なので，$M=2^{n-2}+c$ は奇数の自然数である。 これらの選び方は，(1) で $n$ を $n-1$，$a$ を $2^{n-1}$ とした場合に対応している。 よってどちらの場合にも上記の有限小数が得られ，すべての自然数 $n\geq3$ について所要の $a_n$ が存在する。