1広島大学 2026年 数学 第1問解答・解説

大小2個のさいころの出方は、大小を区別した36通りで、いずれも同様に確からしい。

(1) 得点が5であるのは、2個のさいころの目がともに5以下で、かつ、ともに4以下ではない場合である。したがって該当する出方は $5^2-4^2=9$ 通りであり、求める確率は $\displaystyle \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$ である。

(2) 得点が5である出方は(1)より9通りである。そのうち大きいさいころの目が5である出方は、小さいさいころの目が1から5までの5通りである。よって条件付き確率は $\displaystyle \dfrac{5}{9}$ である。

(3) 得点を $X$ とする。$X=k$ となる出方は、2個の目がともに $k$ 以下である $k^2$ 通りから、ともに $k-1$ 以下である $(k-1)^2$ 通りを除いた $2k-1$ 通りである。よって $\displaystyle P(X=k)=\dfrac{2k-1}{36}$ ($k=1,2,3,4,5,6$) だから、$$\displaystyle E(X)=\sum\limits _{k=1}^{6} k\,\dfrac{2k-1}{36}=\dfrac{1+6+15+28+45+66}{36}=\dfrac{161}{36}.$$

(4) Aさんの得点が $k$ である確率は $\displaystyle \dfrac{2k-1}{36}$ である。また、Bさんの得点が $k$ より小さい確率は、Bさんの2個の目がともに $k-1$ 以下となる確率 $\displaystyle \dfrac{(k-1)^2}{36}$ である。AさんとBさんのゲームは独立なので、$$\displaystyle P(\text{Aさんの得点}=k,\text{Bさんの得点}<k)=\dfrac{(2k-1)(k-1)^2}{36^2}.$$ これを $k=1,2,3,4,5,6$ について加えると、$$\displaystyle P(\text{Aさんの得点}>\text{Bさんの得点})=\dfrac{0+3+20+63+144+275}{1296}=\dfrac{505}{1296}.$$ $505=5\cdot101$ は2でも3でも割り切れず、$1296=2^4\cdot3^4$ と互いに素である。以上より既約分数での答えは、順に $\displaystyle \dfrac14,\dfrac59,\dfrac{161}{36},\dfrac{505}{1296}$ である。