6東京大学 2025年 数学 第6問解答・解説

$z$ が $C$ 上にあるなら $\displaystyle \left|z-\frac12\right|=\frac12$ だから $$|z|^2-\operatorname{Re}z=0.$$ また $z\ne0$ より $|z|^2>0$。

(1) $\displaystyle \frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}$ なので $$\displaystyle \operatorname{Re}\frac1z=\frac{\operatorname{Re}z}{|z|^2}=1.$$

(2) (1)より $$\displaystyle \frac1\alpha=1+iu,\qquad \frac1\beta=1+iv$$ と書ける。ただし $u,v$ は実数で、$u\ne v$ である。実際，$\displaystyle z=\frac1{1+iu}=\frac{1-iu}{1+u^2}$ は $\displaystyle \operatorname{Re}z=|z|^2=\frac1{1+u^2}$ を満たし，ゆえに $z$ は $C$ 上にある。したがって $u,v$ は相異なる任意の実数を動く。 $$\displaystyle \gamma=\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}=2-(u^2+v^2)+2i(u+v)$$ とおき，$\gamma=X+iY$ とする。このとき $$\displaystyle u^2+v^2=\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{2} =\frac{Y^2}{8}+\frac{(u-v)^2}{2},$$ ゆえに $$\displaystyle X=2-\frac{Y^2}{8}-\frac{(u-v)^2}{2}<2-\frac{Y^2}{8}.$$ 逆に $\displaystyle X<2-\frac{Y^2}{8}$ なら $$\displaystyle \delta=\sqrt{\frac{2-X-Y^2/8}{2}}>0,\qquad u=\frac{Y}{4}+\delta,\quad v=\frac{Y}{4}-\delta$$ と選べる。この $u,v$ は相異なり，対応する $\alpha=1/(1+iu),\ \beta=1/(1+iv)$ は $C$ 上の相異なる複素数で，その和は $X+iY$ となる。したがって求める範囲は $$\displaystyle X<2-\frac{Y^2}{8}\quad(\gamma=X+iY),$$ 境界 $\displaystyle X=2-\frac{Y^2}{8}$ を含まない領域である。

(3) (2)の範囲に属さない $\gamma=X+iY$ は $$\displaystyle X\geq 2-\frac{Y^2}{8}$$ を満たす。原点は(2)の範囲に含まれるので $\gamma\ne0$ であり， $$\displaystyle \operatorname{Re}\frac1\gamma=\frac{X}{X^2+Y^2}$$ である。$q=Y^2$ とおく。

まず $\displaystyle \operatorname{Re}(1/\gamma)\leq\frac12$ を示す。$q\geq1$ なら $(X-1)^2+q\geq1$。$0\leq q<1$ なら $\displaystyle L=2-\frac q8>1,\ X\geq L$ であり， $$\displaystyle X^2-2X+q =L^2-2L+q+(X-L)(X+L-2) =\frac{3q}{4}+\frac{q^2}{64}+(X-L)(X+L-2)\geq0.$$ よって常に $(X-1)^2+Y^2\geq1$，したがって $2X\leq X^2+Y^2$ となり， $$\displaystyle \operatorname{Re}\frac1\gamma\leq\frac12.$$ 等号は $\gamma=2$ で成り立つ。

次に $\displaystyle \operatorname{Re}(1/\gamma)\geq-\frac1{16}$ を示す。$q\geq64$ なら $(X+8)^2+q\geq64$。$0\leq q<64$ なら $\displaystyle L=2-\frac q8$ とおくと $X\geq L,\ L+8>0$ なので $$\displaystyle (X+8)^2+q\geq(L+8)^2+q =64+\frac{(q-48)^2}{64}\geq64.$$ したがって $X^2+16X+Y^2\geq0$，ゆえに $$\displaystyle \operatorname{Re}\frac1\gamma\geq-\frac1{16}.$$ 等号は $q=48,\ X=L=-4$，すなわち $\gamma=-4\pm4\sqrt3\,i$ で成り立つ。これらの値は(2)の範囲の境界上にあり，範囲には含まれない。