4広島大学 2021年 数学 第4問解答・解説

二次方程式の判別式は $4c-3$ である。異なる実数解 $\alpha<\beta$ をもつので $4c-3>0$。解の公式と解と係数の関係から $$\displaystyle \alpha=\frac{-1-\sqrt{4c-3}}2,\qquad \beta=\frac{-1+\sqrt{4c-3}}2,\qquad \alpha+\beta=-1.$$ これを $a\alpha+b\beta+c=0$ に代入し、$a+b=c^2$ を用いると $$\displaystyle -\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sqrt{4c-3}+c=0, \qquad b-a=\frac{c(c-2)}{\sqrt{4c-3}}.$$ これが (1) の答え。

(2) $d=\sqrt{4c-3}$ とおく。$a,b,c$ は自然数で $$d(b-a)=c(c-2).$$ もし $b-a\ne0$ なら $d=c(c-2)/(b-a)$ は有理数となる。有理数でその平方が整数である数は整数なので、$d$ は自然数となり仮定に反する。よって $b-a=0$、また $c(c-2)=0$。$4c-3>0$ と自然数条件から $c\ge1$ であるため $c=2$。さらに $a+b=4$ と $b-a=0$ より $a=b=2$。

(3) $4c-3=s^2$ なら $s^2\equiv1\pmod4$ なので $s$ は奇数で、 $$\displaystyle c=\frac{s^2+3}{4},\qquad s(b-a)=c(c-2),\qquad 2a=c^2-\frac{c(c-2)}s.$$ さらに $$\displaystyle c^2=\frac{s^4+6s^2+9}{16},\qquad c(c-2)=\frac{s^4-2s^2-15}{16}.$$ 最後の等式に $16s$ を掛けると $$\begin{aligned} 32as &=s(s^4+6s^2+9)-(s^4-2s^2-15)\\ &=s^5-s^4+6s^3+2s^2+9s+15. \end{aligned}$$ したがって $$s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15.$$

(4) (3) の式を整理すると $$32as=s^5-s^4+6s^3+2s^2+9s+15.$$ 左辺と右辺の15以外の各項は $s$ の倍数だから $s\mid15$。よって $s=1,3,5,15$。 $$\begin{array}{c|rrrr} s&1&3&5&15\\\hline c&1&3&7&57\\ a&1&4&21&1520\\ b&0&5&28&1729 \end{array}$$ 自然数 $b$ は正なので $s=1$ を除く。残る組は $$(a,b,c)=(4,5,3),\quad(21,28,7),\quad(1520,1729,57).$$ 各組は $a+b=c^2$ と $s(b-a)=c(c-2)$ を満たす。$\sqrt{4c-3}=s$ と (1) の関係に戻せば $a\alpha+b\beta+c=0$ も成り立つので、3組はいずれも条件を満たす。