5弘前大学 2019年 数学 第5問解答・解説

点 $C$ の座標を $z=x+yi$ とする。$A=(2,0), B=(0,4)$ である。

両問とも $CA=CB$ が必要なので、 $$|z-2|^2=|z-4i|^2\text{、すなわち } (x-2)^2+y^2=x^2+(y-4)^2\text{、すなわち } x=2y-3. \tag{1}$$

(1) $\angle ACB=90^\circ$ は $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$ と同値である。よって $(2-x)(-x)+(-y)(4-y)=0\text{、すなわち } x^2+y^2-2x-4y=0.$ (1) を代入すると $$(2y-3)^2+y^2-2(2y-3)-4y=0\text{、すなわち } 5(y-1)(y-3)=0.$$ したがって $y=1,3$、対応する $x$ は $-1,3$ であり、$z=-1+i, 3+3i$。いずれも $CA=CB=\sqrt{10}$ なので条件を満たす。

(2) (1) により $CA=CB$ だから、正三角形となる条件はさらに $CA=AB$ である。 $AB^2=|2-4i|^2=20$ より $$|z-2|^2=20\text{、すなわち } (x-2)^2+y^2=20.$$ (1) を代入して $$(2y-5)^2+y^2=20\text{、すなわち } y^2-4y+1=0\text{、すなわち } y=2\pm\sqrt{3}.$$ このとき $x=2y-3=1\pm2\sqrt{3}$（複号同順）。したがって $z=1\pm2\sqrt{3}+(2\pm\sqrt{3})i$（複号同順）。