5長崎大学 2014年 数学 第5問解答・解説

(1) 与えられた公式より $$\displaystyle 2^2+4^2+\cdots+20^2=4\cdot\frac{10\cdot11\cdot21}{6}=1540.$$ また $1$ から $20$ までの平方和は $$\displaystyle \frac{20\cdot21\cdot41}{6}=2870$$ なので、奇数の平方和は $2870-1540=1330$。

(2) $$\displaystyle a_n=4\sum\limits _{k=1}^{n}k^2=4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}.$$ 奇数の平方和は $1$ から $2n$ までの平方和から偶数の平方和を引いて $$\displaystyle \begin{aligned} b_n&=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}\\ &=\frac{n(2n+1)(4n+1)-2n(n+1)(2n+1)}{3}\\ &=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}. \end{aligned}$$

(3) $$\displaystyle \begin{aligned} \frac1{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)} &=\frac{3}{2n(n+1)(2n+1)}-\frac{3}{2n(2n+1)}\\ &=-\frac{3}{2(n+1)(2n+1)}, \end{aligned}$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \frac1{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)} &=\frac{3}{n(2n-1)(2n+1)}+\frac{3}{2n(2n+1)}\\ &=\frac{6+3(2n-1)}{2n(2n-1)(2n+1)}\\ &=\frac{3}{2n(2n-1)}. \end{aligned}$$

(4) (3)から $$\displaystyle \frac1{a_n}=\frac{3}{2n(2n+1)}-\frac{3}{2(n+1)(2n+1)},\qquad \frac1{b_n}=\frac{3}{2n(2n-1)}-\frac{3}{2n(2n+1)}.$$ よって $$\displaystyle c_n=\frac{3}{2n(2n-1)}-\frac{3}{2(n+1)(2n+1)}.$$ 第2項は次の添字における第1項と消去されるため、 $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}c_k=\frac32-\frac{3}{2(n+1)(2n+1)}=\frac{3n(2n+3)}{2(n+1)(2n+1)}.$$ 確認として $n=1$ では $a_1=4$, $b_1=1$ だから $S_1=c_1=5/4$ となり、この式と一致する。