1新潟大学 2021年 数学 第1問解答・解説

正四面体なので，$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。また，$AE:EB=2:1$，$AF:FC=5:2$ である。

(1) $D$ は $ABC$ の重心だから， $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}.$$

(2) 内分点・外分点の位置ベクトルより， $$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{\vec a+2\vec b}{3},\qquad \overrightarrow{OF}=\frac{5\vec c-2\vec a}{5-2}=\frac{-2\vec a+5\vec c}{3}.$$

(3) $G,H$ の定義から実数 $s,t$ を用いて $$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OE}+s\vec a,\qquad \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OF}+t\vec b$$ とおく。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{DG}=s\vec a+\frac13\vec b-\frac13\vec c,\qquad \overrightarrow{DH}=-\vec a+\left(t-\frac13\right)\vec b+\frac43\vec c.$$ $D,G,H$ が一直線上にあるので，ある実数 $k$ に対して $\overrightarrow{DH}=k\overrightarrow{DG}$。係数を比較すると $$\displaystyle -1=ks,\qquad t-\frac13=\frac{k}{3},\qquad \frac43=-\frac{k}{3},$$ より $\displaystyle k=-4,\ s=\frac14,\ t=-1$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{7}{12}\vec a+\frac23\vec b,\qquad \overrightarrow{OH}=-\frac23\vec a-\vec b+\frac53\vec c.$$

(4) 正四面体の各辺の長さを $\ell$ とすると，$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=\ell$，また $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\ell^2/2$。従って $$|x\vec a+y\vec b+z\vec c|^2=\ell^2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx).$$ これを用いると $$\displaystyle |\overrightarrow{OG}|^2=\ell^2\left(\frac{49}{144}+\frac49+\frac7{18}\right)=\frac{169}{144}\ell^2,$$ $$\displaystyle |\overrightarrow{OH}|^2=\ell^2\left(\frac49+1+\frac{25}{9}+\frac23-\frac53-\frac{10}{9}\right)=\frac{19}{9}\ell^2.$$ したがって $$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{OH}|^2}{|\overrightarrow{OG}|^2}=\frac{19/9}{169/144}=\frac{304}{169}.$$