5東京大学 2022年 数学 第5問解答・解説

線分ABを回転する前に $A+t(B-A)=(t,0,2-t)\ (0\le t\le1)$ と表せる。回転後、S上の点Pのxy平面への射影の原点からの距離を $r$ とすれば、$0\le r\le1$、$P$ の高さは $z_P=2-r$ である。

Pの水平射影を $\boldsymbol a$、そこからQへの水平ベクトルを $\boldsymbol b$ とする。Qはxy平面上で $PQ=2$ を満たすので $$|\boldsymbol a|=r,\qquad |\boldsymbol b|=\sqrt{2^2-(2-r)^2}=\sqrt{4r-r^2}=:\rho(r).$$ Mの水平射影は $\boldsymbol a+\boldsymbol b/2$ である。$\boldsymbol a$ の向きと $\boldsymbol b$ の向きはそれぞれ自由に動くから、この和の長さは $\left|r-\rho/2\right|$ から $r+\rho/2$ まで取り、全方位にわたる。したがって、高さを固定した水平断面は内半径 $\left|r-\rho/2\right|$、外半径 $r+\rho/2$ の円環（内半径0の場合は円盤）であり、その面積は $$\displaystyle A(r)=\pi\left\{\left(r+\frac{\rho}{2}\right)^2-\left(r-\frac{\rho}{2}\right)^2\right\}=2\pi r\rho.$$ 中点の高さは $z_M=(2-r)/2=1-r/2$ なので、$|dz_M|=dr/2$。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(K)&=\frac12\int_0^1 A(r)\,dr =\pi\int_0^1 r\sqrt{4r-r^2}\,dr\\ &=\pi\int_1^2(2-u)\sqrt{4-u^2}\,du\qquad(u=2-r)\\ &=\pi\left[2\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\sqrt3\right] =\frac{4\pi^2}{3}-2\sqrt3\pi. \end{aligned}$$