2福井大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) a₂=sa₁+t=s+t なので、漸化式を2回使うと $a_3=s^2+(s+1)t=5$。 また a₅=s²a₃+(s+1)t=41 である。前式から (s+1)t=5−s² なので、後式は 5s²+5−s²=41、すなわち $s^2=9$。s=3ならt=−1。s=−3ならt=2だが、このとき a₂=−1 となり、正の整数からなる数列という条件に反する。よって s=3,t=−1。

(2) 漸化式は a_{n+1}=3a_n−1。両辺を変形して 2a_{n+1}−1=3(2a_n−1) とすると、2a₁−1=1 から 2a_n−1=3^{n−1}。したがって $\displaystyle a_n=\frac{3^{n-1}+1}{2}$。 x=3^{n−1} とおけば a_{3n−2}/a_n={(x³+1)/2}/{(x+1)/2}=x²−x+1 である。$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ だからこの比は整数となり、a_{3n−2}はa_nで割り切れる。

(3) k≧2なら a_k=(3^{k−1}+1)/2≧2 であり、a_{k+1}=3a_k−1。したがって a_{k+1}をa_kで割った余りは b_k=a_k−1。さらに b_{k+1}=a_{k+1}−1=3a_k−2 なので $b_{k+1}-b_k=2a_k-1=a_k+b_k$。 よって各項は (a_k+b_k)/(b_kb_{k+1})=1/b_k−1/b_{k+1} と変形できる。和は途中の項が消えて、 $\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{m}\frac{a_k+b_k}{b_kb_{k+1}}=\frac1{b_2}-\frac1{b_{m+1}}$。 b_2=a_2−1=1、b_{m+1}=a_{m+1}−1=(3^m−1)/2 より、求める値は $\displaystyle 1-\frac2{3^m-1}$。