1福井大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=0,\quad |\vec a|^2=4,\quad |\vec b|^2=2,\quad |\vec c|=1,\quad \vec a\cdot\vec c=2\cos\frac\pi3=1,\quad \vec b\cdot\vec c=\sqrt2\cos\frac\pi4=1.$ (1) $\vec h=\overrightarrow{OH}=u\vec a+v\vec b$ とおく。$\vec c-\vec h\perp\vec a,\vec b$ より $4u=1,\ 2v=1$、したがって $\displaystyle \vec h=\frac14\vec a+\frac12\vec b$。反射点は $\displaystyle \vec d=\overrightarrow{OD}=2\vec h-\vec c=\frac12\vec a+\vec b-\vec c$。 (2) $\displaystyle |CH|^2=|\vec c|^2-|\vec h|^2=1-\left(\frac1{16}\cdot4+\frac14\cdot2\right)=\frac14$ なので $\displaystyle CH=\frac12$。$\displaystyle [OAB]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt2=\sqrt2$ より $\displaystyle V=\frac13[OAB]CH=\frac{\sqrt2}{6}$。 (3) $CP=DP$（反射）なので $CP+PG=DP+PG\ge DG$。等号は $D,P,G$ が一直線上で $P$ が間にあるとき。$\vec n=\vec c-\vec h$ とすると $\vec d=\vec h-\vec n$、$\displaystyle \vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec a+\vec b+\vec h+\vec n}{3}$。線分 $DG$ 上で法線成分が0になる点は $\displaystyle \vec p_0=\frac14\vec d+\frac34\vec g=\frac14(\vec a+\vec b+2\vec h)=\frac38\vec a+\frac12\vec b$。$\displaystyle \vec g-\vec d=-\frac16\vec a-\frac23\vec b+\frac43\vec c$ であり、与えられた内積から $\displaystyle |DG|^2=\frac59$。$\displaystyle \therefore\quad\overrightarrow{OP_0}=\frac38\vec a+\frac12\vec b,\quad CP_0+P_0G=DG=\frac{\sqrt5}{3}.$