III慶應義塾大学 2020年 数学 第III問解答・解説

(1)　 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ より $\sin x,\cos x,\sin 2x$ はいずれも 0 でない。 $$\displaystyle f(x)+f\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =\frac{1}{\sin^2x}+\frac{1}{\cos^2x} =\frac{1}{\sin^2x\cos^2x} =\frac{4}{\sin^2 2x} =4f(2x).$$ したがって $(\text{あ})=4$ である。

(2)　 $S_1=f(\pi/4)=2$ である。$S_{n+1}$ の和では、$k$ と $2^{n+1}-k$ の項を組にする（$1\leq k\leq2^n-1$）。この二項の角は $$\displaystyle x=\frac{k\pi}{2^{n+2}},\qquad \frac{\pi}{2}-x=\frac{(2^{n+1}-k)\pi}{2^{n+2}}$$ である。(1) の恒等式より各組の和は $$\displaystyle f(x)+f\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) =4f(2x)=4f\!\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right).$$ 組に入らない中央の項は $f(\pi/4)=2$ なので、 $$S_{n+1}=4S_n+2.$$ よって $S_1=2$ から $S_2=10,\ S_3=42$ となる。また漸化式に定数項を加えると $$\displaystyle S_{n+1}+\frac23=4\left(S_n+\frac23\right).$$ したがって $$\displaystyle S_n+\frac23=4^{n-1}\left(S_1+\frac23\right) =\frac23\,4^n,\qquad S_n=\frac23(4^n-1).$$ さらに $$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\tan^2x}=\cot^2x=\csc^2x-1=f(x)-1$$ だから、和の項数が $2^n-1$ であることより $$\displaystyle T_n=S_n-(2^n-1) =\frac23\,4^n-2^n+\frac13 =\frac{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}{3}.$$

最後に $1\leq k\leq2^n-1$ に対し $\theta_k=k\pi/2^{n+1}$ とおくと $0<\theta_k<\pi/2$ である。 与えられた $\sin\theta_k<\theta_k<\tan\theta_k$ の各辺は正なので、逆数の二乗をとって $$\displaystyle g(\theta_k) <\frac{1}{\theta_k^2} =\frac{4^{n+1}}{\pi^2k^2} <f(\theta_k).$$ これを $k$ について加えると $$\displaystyle \frac{\pi^2}{4^{n+1}}T_n <\sum\limits _{k=1}^{2^n-1}\frac1{k^2} <\frac{\pi^2}{4^{n+1}}S_n.$$ 求めた一般式から、左辺・右辺はいずれも $n\to\infty$ で $\pi^2/6$ に収束する。はさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{2^n-1}\frac1{k^2} =\frac{\pi^2}{6}.$$ 以上より空欄は $$\displaystyle \begin{aligned} (\text{あ})&=4,\quad(\text{い})=2,\quad(\text{う})=10,\quad(\text{え})=42,\\ (\text{お})&=4S_n+2,\quad(\text{か})=\frac23(4^n-1),\\ (\text{き})&=\frac{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}3,\quad(\text{く})=\frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$$ である。