4琉球大学 2008年 数学 第4問解答・解説

袋の中の白球は初めに10個あり、1回の試行のたびに1個ずつ増えるから、$n$ 回目の試行の直前には白球が $n+9$ 個、赤球が $r$ 個ある。9個のうち赤球をちょうど4個、白球をちょうど5個選ぶ場合の数を全体の場合の数で割ると $$\displaystyle P_n=\frac{\binom{r}{4}\binom{n+9}{5}}{\binom{r+n+9}{9}}.$$ $r\ge 9$、$n\ge1$ なので、以下に現れる確率と分母はすべて正である。隣り合う確率の比を計算すると $$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n} =\frac{\binom{n+10}{5}}{\binom{n+9}{5}} \frac{\binom{r+n+9}{9}}{\binom{r+n+10}{9}} =\frac{n+10}{n+5}\frac{r+n+1}{r+n+10}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}-1 =\frac{(n+10)(r+n+1)-(n+5)(r+n+10)} {(n+5)(r+n+10)} =\frac{5r-4n-40}{(n+5)(r+n+10)}.$$ 分母は正なので、$P_n<P_{n+1}$ となる条件は $$\displaystyle 5r-4n-40>0, \quad\text{すなわち}\quad n<\frac{5r-40}{4}$$ である。

問1では $n=1$ とすると $$\displaystyle \frac{P_2}{P_1}=\frac{11(r+2)}{6(r+11)},\qquad \frac{P_2}{P_1}-1=\frac{5r-44}{6(r+11)}>0$$ となる。実際、$r\ge9$ より $5r-44\ge1$ だから、$P_1<P_2$ である。

問2の答えは、正の整数 $n$ について $1\le n<(5r-40)/4$ である。

問3では $r=50$ より、増加条件は $n<105/2=52.5$ となる。よって $P_1<P_2<\cdots<P_{52}<P_{53}$ であり、$n\ge53$ では毎回 $P_{n+1}<P_n$ となる。したがって $P_n$ が最大となるのは $n=53$ である。