2東北大学 2026年 数学 第2問解答・解説

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$a,b,c$ は正の整数とする。

(1) $(a,b,c)=(1,2,3)$ とすれば $$1^2+2\cdot2^2=1+8=9=3^2.$$ したがって条件を満たす一例は $(1,2,3)$。

(2) 任意の正整数 $t$ に対し $(a,b,c)=(t,2t,3t)$ とおくと $$a^2+2b^2=t^2+2(2t)^2=9t^2=(3t)^2=c^2.$$ $t$ が異なれば $a=t$ も異なるため、正整数解は無数に存在する。

(3) 元の式を $c^2-a^2=2b^2$ と書く。これを2で割った余りで考えると $a^2\equiv c^2\pmod2$。整数 $x$ は $x^2\equiv x\pmod2$ を満たすので $a\equiv c\pmod2$、よって $a+c$ は偶数である。 また、同じ偶奇の整数の平方は4で割った余りも等しい。実際、偶数の平方は4の倍数、奇数の平方は4で割ると1余る。したがって $4\mid(c^2-a^2)=2b^2$、ゆえに $b^2$ は偶数であり $b$ も偶数である。

さらに $a,c$ が偶数と仮定する。すでに $b$ も偶数と分かったので $a=2A,\ b=2B,\ c=2C$ と書ける。これを元の式に代入し4で割れば $$A^2+2B^2=C^2.$$ $(A,B,C)$ も正整数解だから、いま証明した「解の第2成分は偶数」という結論をこの組に適用でき、$B$ は偶数。よって $b=2B$ は4の倍数である。

(1)では採用F04の(2,4,6)とB04の(1,2,3)は異なるが、どちらも条件を満たす有効な一例である。(2)もF04の族はB04の族の2倍であり、ともに無限個の正整数解を与える。(3)の結論は両答案と一致する。

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平方数の偶奇、mod 2とmod 4、整数倍による無限解の構成を用いる高校範囲。追加条件では、既に示した偶奇命題を縮小三つ組に再適用した。