1東海大学 2003年 数学 第1問解答・解説

次の空欄を埋めよ。 1 (1) 複素数平面上の3点 $A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$ を三角形の頂点とする。$$\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}\,i)$$ が成り立つとき，$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\boxed{\text{ア}}$ であり，$\angle A=\boxed{\text{イ}}$ である。

(2) 2次式 $f_{1}(x)=-x^{2}+3x$ を用いて2次式 $f_{2}(x)$ を $$\displaystyle f_{2}(x)=\frac{1}{2}\left\{f_{1}(x)+f_{1}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right\}$$ と定める。このとき，$f_{2}(x)=-x^{2}+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$ である。 一般に，2次式 $f_{n}(x)$ を $f_{n}(x)=-x^{2}+2a_{n}x+b_{n}$ とおき，2次式 $f_{n+1}(x)$ を $$\displaystyle f_{n+1}(x)=\frac{1}{2}\left\{f_{n}(x)+f_{n}(x+a_{n})\right\}$$ と定める。このとき，右辺は $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}\left\{f_{n}(x)+f_{n}(x+a_{n})\right\} &=\frac{1}{2}\Bigl[(-x^{2}+2a_{n}x+b_{n})\\ &\qquad+\{-(x+a_{n})^{2}+2a_{n}(x+a_{n})+b_{n}\}\Bigr]\\ &=-x^{2}+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}} \end{aligned}$$ となる。ここで，オ，カは，$a_{n}$ や $b_{n}$ からなる式とする。 また，左辺は $f_{n+1}(x)=-x^{2}+2a_{n+1}x+b_{n+1}$ であるから，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}\boxed{\text{オ}}$ および $b_{n+1}=\boxed{\text{カ}}$ となる。 $\displaystyle a_{1}=\frac{3}{2},\ b_{1}=0$ であるから，数列 $\{a_{n}\}$ の一般項は $a_{n}=\boxed{\text{キ}}$ であり，これから数列 $\{b_{n}\}$ の一般項は $b_{n}=\boxed{\text{ク}}$ となる。