3東海大学 2003年 数学 第3問解答・解説

解答

図の配置に従い，$\vec a,\vec b,\vec c$ の方向角をそれぞれ $0,\theta,2\theta$ とする。すると $$\vec a=(1,0),\qquad \vec b=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \vec c=(\cos2\theta,\sin2\theta).$$ したがって $$s=\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a =2\cos\theta+\cos2\theta.$$ $u=\cos\theta$ とおくと $-1<u<1$ であり，倍角の公式より $$\displaystyle s=2u+(2u^2-1)=2u^2+2u-1=2\left(u+\frac12\right)^2-\frac32.$$ また，$A,B,C$ の座標から三角形の面積は $$\displaystyle [ABC]=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta-1&\cos2\theta-1\\\sin\theta&\sin2\theta\end{pmatrix}\right| =\sin\theta(1-\cos\theta) =2\sin\theta\sin^2\frac\theta2.$$ ここでは $0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ を用いた。

(1) $\displaystyle s=\frac12$ とすると $\displaystyle 2u^2+2u-\frac32=0$，すなわち $\displaystyle u=\frac12$ または $\displaystyle u=-\frac32$ である。$-1<u<1$ より $\displaystyle u=\frac12$，したがって $\displaystyle \theta=\frac\pi3$ である。面積は $$\displaystyle 2\sin\frac\pi3\sin^2\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{4}.$$

(2) $s=-1$ とすると $2u(u+1)=0$ である。$u=-1$ は $\theta=\pi$ に当たり条件 $\theta<\pi$ に反するので，$u=0$，すなわち $\displaystyle \theta=\frac\pi2$ である。このとき面積は $$\displaystyle 2\sin\frac\pi2\sin^2\frac\pi4=1.$$

(3) $\displaystyle s=2(u+\frac12)^2-\frac32$ より，$\displaystyle u=-\frac12$ のとき最小値 $\displaystyle -\frac32$ をとる。よって $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$ であり，面積は $$\displaystyle 2\sin\frac{2\pi}{3}\sin^2\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}{4}.$$