2東海大学 2003年 数学 第2問解答・解説

$y=x^2$ の接点を $t$ とする接線は $y=2tx-t^2$ である。

$l_A,l_B$ の交点 $C$ は $$2ax-a^2=2bx-b^2$$ を満たすので、$a<b$ から $$\displaystyle x_C=\frac{a+b}{2},\qquad y_C=2a\frac{a+b}{2}-a^2=ab.$$ したがって $\displaystyle C=(\frac{a+b}{2},ab)$。

直線 $AB$ の傾きは $(b^2-a^2)/(b-a)=a+b$。接点を $d$ とする接線の傾きは $2d$ なので、$2d=a+b$、すなわち $d=(a+b)/2$。ゆえに $$\displaystyle D=\left(\frac{a+b}{2},\frac{(a+b)^2}{4}\right),\qquad l_D:y=(a+b)x-\frac{(a+b)^2}{4}.$$

接点 $u<v$ の2本の接線と放物線で囲まれる面積を $A(u,v)$ とする。接線どうしの交点の $x$ 座標は $(u+v)/2$ であり、放物線と接線の差は $x^2-(2ux-u^2)=(x-u)^2$ だから $$\displaystyle A(u,v)=\int_u^{(u+v)/2}(x-u)^2\,dx+\int_{(u+v)/2}^{v}(x-v)^2\,dx =\frac{(v-u)^3}{12}.$$ したがって $$\displaystyle S_1=A(a,b)=\frac{(b-a)^3}{12}.$$ ここで接点 $D$ のパラメータは $d=(a+b)/2$ なので $$\displaystyle S_2=A(a,d)=\frac{(d-a)^3}{12} =\frac{((b-a)/2)^3}{12}=\frac{(b-a)^3}{96}.$$ よって $S_1:S_2=8:1$。