3獨協医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

円順列では回転だけを同一視し、向きは区別する。よって $m$ 個の異なるものの円順列は $(m-1)!$ 通りであり、6個の場合の総数は $5!=120$、8個の場合は $7!=5040$ である。

(1)(i) 同じ番号の白玉と赤玉が3組とも隣り合う場合、各組を一つのブロックとみなす。3ブロックの円順列は $2!$ 通り、各ブロック内の順序は2通りずつなので、有利な並びは $2!\cdot2^3=16$ 通り。したがって確率は $16/120=2/15$。

(ii) 白1を固定すると、白1と向かい合う位置は一つに決まり、残り4個は $4!$ 通りに置ける。したがって確率は $4!/5!=1/5$。さらにこの条件のもとでは、残る4つの位置のうち隣り合う位置の組は2組だけである。残りの白2・赤2・白3・赤3を置く方法は $4!=24$ 通り。特定の同番号ペアが隣り合う方法は、隣接する位置の組の選択が2通り、ペアの順序が2通り、残り2個の置き方が2通りなので8通り。白2・赤2と白3・赤3がともに隣り合う方法は、2組の位置へのペアの割当てが2通り、各ペアの順序が2通りずつで8通り。包除原理より、どの同番号ペアも隣り合わない並びは $$24-8-8+8=16$$ 通りである。したがって、白1と赤1が向かい合い、かつどの同番号ペアも隣り合わない同時確率（全円順列に対する確率）は $16/120=2/15$。

同番号ペア $i$ が隣り合う事象を $E_i$ とする。3組のうち指定した $j$ 組がすべて隣り合う並びは、各組をブロックにして数えると $(6-j-1)!2^j$ 通りである。したがって隣り合う同番号ペアが一つもない並びは $$\displaystyle 120-\binom31(4!)2+\binom32(3!)2^2-(2!)2^3=32$$ 通り、確率は $32/120=4/15$。

(iii) ちょうど1組だけが隣り合う並びを数える。隣り合う組を指定すると、その組の隣接を保つ並びは48通り、さらに別の指定ペアも隣り合う並びは24通り、3組すべてが隣り合う並びは16通りである。よって指定した1組だけが隣り合う並びは $48-2\cdot24+16=16$ 通り。隣り合う組の選び方は3通りだから、合計48通りであり、確率は $48/120=2/5$。

(2) 8個の場合、指定した $j$ 組の同番号ペアがすべて隣り合う並びは、ペアをブロックにして $(8-j-1)!2^j$ 通りである。包除原理により、どのペアも隣り合わない並びは $$\displaystyle 7!-\binom41(6!)2+\binom42(5!)2^2-\binom43(4!)2^3+(3!)2^4=1488$$ 通り。よって求める確率は $1488/5040=31/105$ である。