1岐阜大学 2014年 数学 第1問解答・解説

正四面体の各面は一辺2の正三角形である。点の位置から $AP=2-t,\ AQ=t$ であり、図の $P,Q$ はそれぞれ辺 $AC,AD$ 上にあるので、$\angle BAP=\angle BAQ=\angle PAQ=60^\circ$ である。

(1) 余弦定理より $$\begin{aligned} BP^2&=AB^2+AP^2-2AB\cdot AP\cos60^\circ\\ &=4+(2-t)^2-2(2-t)=t^2-2t+4,\\ BQ^2&=AB^2+AQ^2-2AB\cdot AQ\cos60^\circ\\ &=4+t^2-2t=t^2-2t+4,\\ PQ^2&=AP^2+AQ^2-2AP\cdot AQ\cos60^\circ\\ &=(2-t)^2+t^2-(2-t)t=3t^2-6t+4. \end{aligned}$$ 長さは正なので、$BP=QB=\sqrt{t^2-2t+4}$、$PQ=\sqrt{3t^2-6t+4}$。

(2) $u=(t-1)^2\ge0$ とおくと、3辺の長さの和 $S$ は $$S=2\sqrt{t^2-2t+4}+\sqrt{3t^2-6t+4} =2\sqrt{u+3}+\sqrt{3u+1}.$$ $u\ge0$ より $u+3\ge3$、$3u+1\ge1$ だから、平方根の単調性から $S\ge2\sqrt3+1$。等号は $u=0$、すなわち $t=1$ のとき成立し、この値は $0<t<2$ の範囲内である。したがって最小値は $2\sqrt3+1$。

(3) 正四面体 $ABCD$ について、底面 $ABC$ の重心を $G$ とする。正四面体なので $D$ から平面 $ABC$ への垂線の足は $G$ であり、正三角形 $ABC$ の重心から頂点 $A$ までの距離は $GA=2/\sqrt3$ である。したがって高さ $DG$ は $$\displaystyle DG=\sqrt{DA^2-GA^2}=\sqrt{2^2-\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2}=\frac{2\sqrt6}{3}.$$ よって $\displaystyle V_{ABCD}=\frac13\cdot\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt6}{3}=\frac{2\sqrt2}{3}$。また、$P$ は $AC$ 上にあるので $[ABP]/[ABC]=AP/AC=(2-t)/2$。$Q$ は $AD$ 上にあり、$A$ は平面 $ABC$ 上にあるため、$Q$ から平面 $ABC$ への高さは $D$ からの高さの $AQ/AD=t/2$ 倍である。したがって $$\displaystyle V_{ABPQ}=V_{ABCD}\cdot\frac{AP}{AC}\cdot\frac{AQ}{AD} =\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{2-t}{2}\cdot\frac{t}{2} =\frac{\sqrt2}{6}t(2-t).$$

(4) $0<t<2$ に対し $$t(2-t)=1-(t-1)^2\le1,$$ 等号は範囲内の $t=1$ で成立する。よって体積の最大値は $\displaystyle \frac{\sqrt2}{6}$。

正四面体の面の正三角形性から余弦定理で三辺を求める。辺の和は (t−1)^2 を用いて最小化し、体積は底面積と高さの比で表す。最後は二次式を平方完成して最大値を得る。