4岐阜大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1), (2). 積を展開すると $$\begin{aligned} AB&=(aI+bJ)(cI+dJ)\\ &=acI+adJ+bcJ+bd(-I)\\ &=(ac-bd)I+(ad+bc)J. \end{aligned}$$ 係数 $ac-bd$ と $ad+bc$ は実数なので $AB\in U$ である。さらに $$BA=(ca-db)I+(cb+da)J.$$ 実数の積の交換法則から $ca-db=ac-bd$、$cb+da=ad+bc$ であり、$BA=AB$ を得る。

(3). $AB=O$ とする。(1)の表示と $I,J$ の係数比較により $$ac-bd=0,\qquad ad+bc=0.$$ この二式を二乗して加えると $$0=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2).$$ 実数の平方は $0$ 以上であるから、積が $0$ となるには $a^2+b^2=0$ または $c^2+d^2=0$ である。前者なら $a=b=0$ なので $A=O$、後者なら $c=d=0$ なので $B=O$ である。

(4). まず $$A^2=(a^2-b^2)I+2abJ$$ だから、これをもう一度二乗して $$A^4=(a^4-6a^2b^2+b^4)I+4ab(a^2-b^2)J.$$ よって $A^4+I=O$ は、係数比較により $$a^4-6a^2b^2+b^4=-1,\qquad 4ab(a^2-b^2)=0$$ と同値である。第二式から $a=0$ または $b=0$ または $a^2=b^2$ である。$a=0$ なら第一式は $b^4=-1$、$b=0$ なら $a^4=-1$ となるが、いずれも実数では不可能である。したがって $a^2=b^2$ であり、第一式は $-4a^4=-1$、すなわち $a^4=1/4$ となる。ゆえに $a^2=1/2$、$a=\pm1/\sqrt2$ で、$b=\pm a$（符号は独立）である。

以上の四通りは実際に条件を満たす。実際、$a^2=b^2=1/2$ なら $$A^2=2abJ=\pm J,$$ したがって $A^4=J^2=-I$ である。求める行列は $$\displaystyle \boxed{A=\frac{1}{\sqrt2}(\varepsilon I+\delta J),\qquad \varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }1\text{ または }-1.}$$