4獨協医科大学 2022年 2日目 数学 第4問解答・解説

$f_1(x)=4\sin x+k$ であり、$f_n(x)=a_n\sin x+b_n$ とする。すると $f_n'(t)=a_n\cos t$ であるから、定義式に代入して $$\displaystyle f_{n+1}(x)=-a_n\sin x\int_0^\pi t\cos t\,dt+a_n\int_0^\pi\sin t\,dt+\pi b_n.$$ ここで $$\displaystyle \int_0^\pi t\cos t\,dt=[t\sin t+\cos t]_0^\pi=-2,\qquad \int_0^\pi\sin t\,dt=2.$$ よって $f_{n+1}(x)=2a_n\sin x+(2a_n+\pi b_n)$ となる。したがって $$a_{n+1}=2a_n,\qquad b_{n+1}=2a_n+\pi b_n,$$ なので、$\boxed{\text{ア}}=2,\ \boxed{\text{イ}}=2,\ \boxed{\text{ウ}}=\text{⓪}$ である。

初期値は $a_1=4,\ b_1=k$ だから $$a_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1},$$ より $\boxed{\text{エ}}=2,\ \boxed{\text{オ}}=1$。

次に $b_n=A2^n+C\pi^{n-1}$ とおく。漸化式の特解部分を比較すると $A(2-\pi)=4$、したがって $\displaystyle A=\frac4{2-\pi}$。また $b_1=k$ より $2A+C=k$、すなわち $\displaystyle C=k-\frac8{2-\pi}$ である。よって $$\displaystyle b_n=\frac{1}{2-\pi}2^{n+2}+\left(k-\frac8{2-\pi}\right)\pi^{n-1},$$ ゆえに $\boxed{\text{カ}}=2,\ \boxed{\text{キ}}=2,\ \boxed{\text{ク}}=8,\ \boxed{\text{ケ}}=2,\ \boxed{\text{コ}}=1$。

$k=-\pi$ のとき、$a_n^2=2^{2n+2}$ なので $$\displaystyle \frac{b_n}{a_n^2}=\frac{1}{2-\pi}\left(\frac12\right)^n+\left(-\pi-\frac8{2-\pi}\right)\frac{1}{4\pi}\left(\frac\pi4\right)^n.$$ $\displaystyle 0<\frac12<1$、$\displaystyle 0<\frac\pi4<1$ より、各項は収束する等比級数の和として計算できる。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^\infty\frac{b_n}{a_n^2}=\frac1{2-\pi}+\frac{-\pi-\frac8{2-\pi}}{4(4-\pi)}.$$ $\displaystyle -\pi-\frac8{2-\pi}=\frac{(4-\pi)(\pi+2)}{\pi-2}$ および $\displaystyle \frac1{2-\pi}=-\frac1{\pi-2}$ より $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^\infty\frac{b_n}{a_n^2}=-\frac1{\pi-2}+\frac{\pi+2}{4(\pi-2)}=\frac14.$$ よって $\boxed{\text{サ}}=1,\ \boxed{\text{シ}}=4$ である。