4獨協医科大学 2023年 2日目 数学 第4問解答・解説

円柱の側面上で平面 $\alpha$ にある点は、$x^2+y^2=1$ かつ平面の方程式を満たす。平面 $\alpha$ は $\displaystyle y=-\frac12,z=0$ を含む直線に平行な $x$ 方向をもち、さらに $(0,1,1)$ を通るので $$\displaystyle \alpha:\quad z=\frac23y+\frac13=\frac{2y+1}{3}.$$ 側面上の点 $P$ の $y$ 座標が $t$ なら、真下の点 $Q$ は同じ $x,y$ 座標で $z=0$ にある。したがって $$\displaystyle \mathrm{PQ}=z_P=\frac23t+\frac13.$$

(1) $(0,1,0)$ は平面 $\alpha$ より下側にあるので、立体 $K$ は円柱内で $0\le z\le (2y+1)/3$ となる側である。この上端が0以上となるのは $\displaystyle y\ge-\frac12$ のときである。平面 $y=t$ で切ると、$x$ の範囲は $-\sqrt{1-t^2}\le x\le\sqrt{1-t^2}$、高さは $(2t+1)/3$ であるから $$\displaystyle S(t)=2\sqrt{1-t^2}\cdot\frac{2t+1}{3} =\left(\frac43t+\frac23\right)\sqrt{1-t^2}.$$ 体積は断面積を $\displaystyle -\frac12\le t\le1$ で積分して $$\displaystyle V=\int_{-1/2}^1\left(\frac43t+\frac23\right)\sqrt{1-t^2}\,dt.$$ まず $$\displaystyle \frac43\int_{-1/2}^1t\sqrt{1-t^2}\,dt =\frac49\left(1-\left(-\frac12\right)^2\right)^{3/2} =\frac{\sqrt3}{6}.$$ また $t=\sin u$ とおくと $$\displaystyle \int_{-1/2}^1\sqrt{1-t^2}\,dt =\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos^2u\,du =\left[\frac u2+\frac{\sin2u}{4}\right]_{-\pi/6}^{\pi/2} =\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{8}.$$ 従って $$\displaystyle V=\frac{\sqrt3}{6}+\frac23\left(\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{8}\right) =\frac{\sqrt3}{4}+\frac29\pi.$$

(2) 円の半径は1なので、弧長 $\theta$ は中心角に等しい。$A$ の偏角は $\displaystyle -\frac\pi6$ であり、弧 $AQ$ を $\displaystyle y\ge-\frac12$ の側にとると、点 $Q$ の偏角は $\displaystyle \theta-\frac\pi6$。よって $\displaystyle t=y_Q=\sin(\theta-\frac\pi6)$ だから $$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac23\sin\left(\theta-\frac\pi6\right)+\frac13.$$ 円周のうち $\displaystyle y\ge-\frac12$ にある弧の中心角は $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ である。半径1の円柱側面を展開すると、弧方向の幅は角度の微小量 $d\theta$、高さは $\mathrm{PQ}$ であるため $$\displaystyle W=\int_0^{4\pi/3}\left\{\frac23\sin\left(\theta-\frac\pi6\right)+\frac13\right\}\,d\theta =\frac23\left[-\cos\left(\theta-\frac\pi6\right)\right]_0^{4\pi/3}+\frac{4\pi}{9} =\frac{2\sqrt3}{3}+\frac49\pi.$$ 検算 $\displaystyle t=-\frac12$ では $\mathrm{PQ}=0$、$t=1$ では $\mathrm{PQ}=1$ となり、断面積は両端で0となる。また体積の二つの積分項はそれぞれ $\displaystyle \frac{\sqrt3}{6}$ と $\displaystyle \frac{\sqrt3}{12}+\frac{2\pi}{9}$ であり、その和が示した $V$ と一致する。