東京大学 2024年数学第1問解答・解説

図形と計量図形と方程式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

東京大学2024年度第1問

座標空間内の点 A(0, -1, 1) をとる。xy 平面上の点 P が次の条件 (i), (ii), (iii) をすべて満たすとする。

(i) P は原点 O と異なる。

(ii) ∠AOP ≧ (2/3)π

(iii) ∠OAP ≦ π/6 P がとりうる範囲を xy 平面上に図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

求める範囲は $y\ge|x|$ かつ $3x^2+(y-1)^2\le3$ を満たす領域から、原点 $O=(0,0)$ だけを除いたもの。境界直線 $y=\pm x$ の線分 $O$ (除く)〜 $(\pm1,1)$ と、楕円 $3x^2+(y-1)^2=3$ の上側の弧（ $(-1,1)$ から $(1,1)$ まで）で囲まれ、 $O$ 以外の境界は含む。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P=(x,y,0)$ , $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ とおく。 $AO^2=2$ , $AP^2=x^2+y^2+2y+2$ なので $\displaystyle \cos\angle AOP=-\frac{y}{\sqrt2\,r}.$ 角度条件 $\angle AOP\ge2\pi/3$ は $y\ge r/\sqrt2$ , すなわち $y\ge|x|$ 。また $\displaystyle \cos\angle OAP=\frac{y+2}{\sqrt2\sqrt{x^2+y^2+2y+2}}.$ ここで $y\ge0$ なので正の両辺を二乗できる。 $\angle OAP\le\pi/6$ は $2(y+2)^2\ge3(x^2+y^2+2y+2)$ 、すなわち $3x^2+(y-1)^2\le3$ と同値。したがって求める領域は $y\ge|x|,\qquad3x^2+(y-1)^2\le3,\qquad(x,y)\ne(0,0),$ 原点以外の境界を含む。

余弦定理で二つの角条件を不等式化。余弦を二乗する箇所で正値を確認し、点P≠Oの除外条件と境界の包含を反映した。

この問題で使う考え方

距離の二乗
余弦定理による変換
正値確認後の平方

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