1三重大学 2013年 数学 第1問解答・解説

定義から $$\vec{x}=\vec{a}+2\vec{b},\qquad \vec{y}=2\vec{a}-\vec{b}.$$ 従って $\vec{x}+2\vec{y}=5\vec{a}$、$2\vec{x}-\vec{y}=5\vec{b}$ であり、 $$\displaystyle \vec{a}=\frac{\vec{x}+2\vec{y}}5,\qquad \vec{b}=\frac{2\vec{x}-\vec{y}}5.$$ よって $$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\frac{3\vec{x}+\vec{y}}5.$$ また $|\vec{x}|=|\vec{y}|=2$、$\vec{x}\cdot\vec{y}=4\cos\theta$ より $$\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|^2 =\frac{9|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+6\vec{x}\cdot\vec{y}}{25} =\frac{40+24\cos\theta}{25}.$$ 上の式で $\vec{x},\vec{y}$ から $\vec{a},\vec{b}$ を定められるので、長さ2の $\vec{x},\vec{y}$ がなす角 $\theta$ は $0\le\theta\le\pi$ のすべての値をとれる。従って $-1\le\cos\theta\le1$。最大は $\theta=0$ のときで $$\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|_{\max}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac85,$$ 最小は $\theta=\pi$ のときで $$\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|_{\min}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45.$$

連立式から $a,b$ を $x,y$ で表し、$\displaystyle a+b=\frac{3x+y}{5}$ を得る。内積でその大きさの2乗を $\theta$ の式にし、$-1\le\cos\theta\le1$ の両端で最大最小をとる。