3東海大学 2007年 数学 第3問解答・解説

余弦定理より $\cos\angle CAB=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2\cdot AB\cdot CA)=(10^2+6^2-14^2)/(2\cdot10\cdot6)=-1/2$ なので，$\angle CAB=120^\circ$ である。したがって $\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot10\cdot6\sin120^\circ=15\sqrt3$ である。半周長は $15$ cm だから，三角形の内接円の半径は $r=15\sqrt3/15=\sqrt3$ cm。球の中心の平面ABCへの射影Hは三辺から等距離で，三角形の内心となる。ゆえに $HP=r=\sqrt3$ cm。　 球は辺ABに接するので，中心OからABまでの距離は半径5 cmである。OHは平面ABCに垂直で，HPは同平面内でABに垂直だから，$\triangle OHP$ はHを直角とする。よって $OH=\sqrt{5^2-HP^2}=\sqrt{22}$ cm。平面ABCは地面から1 cmの高さにあるため，Oの地面からの高さは $1+\sqrt{22}$ cm，球の最高点Nの高さは $1+\sqrt{22}+5=6+\sqrt{22}$ cmとなる。　 球の半径を $R$ cmに変えたとき，三辺に接する球の中心の射影は同じ内心Hである。辺までの水平距離が $r=\sqrt3$ cm なので，$R\ge\sqrt3$ の範囲で中心と平面ABCとの距離は $OH=\sqrt{R^2-3}$ である。球の最下点の地面からの高さは $1+\sqrt{R^2-3}-R$ であり，初めて地面に接するときはこれが0となる。したがって $\sqrt{R^2-3}=R-1$（よって $R\ge1$）であり，両辺を2乗すると $R=2$ を得る。この値は $R\ge\sqrt3$ を満たす。また $R>2$ なら $R^2-3>(R-1)^2$ なので最下点は地面より上にあり，半径を5から減らすと最初の接触は $R=2$ cm のときである。