6筑波大学 2024年 数学 第6問解答・解説

（1）$\alpha=x+iy\ (y\ne0),\quad r=|\alpha|=\sqrt{x^2+y^2}>0$ とおく。すると $$\displaystyle \frac{\alpha-r}{\alpha+r} =\frac{(x-r+iy)(x+r-iy)}{(x+r)^2+y^2}.$$ 分母は正であり、分子の実部は $$(x-r)(x+r)+y^2=x^2-r^2+y^2=0$$ となる。また分子の虚部は $2ry\ne0$ だから、この商は純虚数である。

（2）純虚数 $\beta$ を $\beta=it\ (t\text{ は実数})$ とおく。$\alpha+r=(x+r)+iy\ne0$ であり、商の実部を計算すると $$\displaystyle \operatorname{Re}\left(\frac{it-r}{(x+r)+iy}\right) =\frac{-r(x+r)+ty}{(x+r)^2+y^2}.$$ これが0となる条件は $ty=r(x+r)$ である。$y\ne0$ より $$\displaystyle t=\frac{r(x+r)}{y}$$ と一意に定まり、$x+r>0$ なので $t\ne0$。したがって $$\displaystyle \beta=i\frac{r(x+r)}{y} =i\,\frac{|\alpha|(|\alpha|+\operatorname{Re}\alpha)}{\operatorname{Im}\alpha}$$ は条件を満たす純虚数であり、この条件を満たすものはこれだけである。

（3）条件を満たす $z$ は、ある実数 $t$ を用いて $$z=r+it(\alpha+r)=r-ty+it(x+r)$$ と表せる。よって $$|z|^2=r^2-2ryt+t^2\bigl(y^2+(x+r)^2\bigr).$$ $y^2+(x+r)^2=2r(x+r)>0$ だから、平方完成すると $$\displaystyle |z|^2=\frac{r(x+r)}2+2r(x+r)\left(t-\frac{y}{2(x+r)}\right)^2.$$ したがって最小となるのは $\displaystyle t=\frac{y}{2(x+r)}$ のときであり、そのとき $$\displaystyle z=r-\frac{y^2}{2(x+r)}+\frac{iy}{2} =\frac{r+x+iy}{2} =\frac{\alpha+|\alpha|}{2}.$$