2香川大学 2008年 数学 第2問解答・解説

点 $P=(1,0),\ Q=(\alpha,\beta)$ とおく。ただし $$\displaystyle \alpha=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}},\qquad \beta=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}>0,\qquad \alpha^2+\beta^2=1$$ である。

1. $P$ の移り先が $Q$ なので $a=\alpha,\ c=\beta$ である。また $Q$ の移り先について $$\alpha^2+b\beta=1,\qquad \alpha\beta+d\beta=0.$$ $\beta>0$ と $\alpha^2+\beta^2=1$ より $b=\beta,\ d=-\alpha$。したがって $$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}},\quad b=c=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}},\quad d=-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}.$$

2. 固定点では $x'=x,\ y'=y$ だから $$(1-\alpha)x=\beta y,\qquad \beta x=(1+\alpha)y.$$ これらは $\beta^2=(1-\alpha)(1+\alpha)$ により同じ直線を表す。よって $$\displaystyle y=\frac{\beta}{1+\alpha}x =\frac{k}{\sqrt{k^2+1}+1}x.$$

3. $\displaystyle m=\frac{\beta}{1+\alpha}=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}+1}$ とおき、 $\ell:px+qy+\rho=0$（$p,q$ は同時に0ではない）とする。 変換後も $\ell$ 上にある条件は $$(p\alpha+q\beta)x+(p\beta-q\alpha)y+\rho=0$$ が $px+qy+\rho=0$ 上の全点で成り立つことである。したがってある実数 $\lambda$ に対し $$p\alpha+q\beta=\lambda p,\qquad p\beta-q\alpha=\lambda q,\qquad \rho=\lambda\rho.$$ 最初の二式を二乗して加えると $$p^2+q^2=\lambda^2(p^2+q^2)$$ となるので $\lambda=1$ または $\lambda=-1$。

$\lambda=1$ のとき $q=mp$ で $\rho$ は任意だから、 $$\ell:\ x+my+\rho=0\qquad(\rho\text{ は任意の実数}).$$ $\lambda=-1$ のとき $q=-p/m$ かつ $\rho=0$ だから、 $$\ell:\ y=mx.$$ 以上が条件を満たす直線である。

4. $x+my+\rho=0$ の傾きは $-1/m<0$ なので、傾きが正の直線は $y=mx$ である。$t=\tan\theta=m$ とおくと $0<t<1$ であり、 $$t\bigl(\sqrt{k^2+1}+1\bigr)=k.$$ これを平方して整理すると $$(1-t^2)k^2-2tk=0.$$ $k>0$ より $$\displaystyle k=\frac{2t}{1-t^2}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}.$$