2京都大学 2010年 数学 第2問解答・解説

高校範囲　 座標ベクトルの内積と三角形の面積で角を評価する。内積が正なので角は鋭角となり、正接を最大化すればよい。微分と平方完成で最大を決める。

$\overrightarrow{PA}=(-x,1-x)$、$\overrightarrow{PB}=(-x,2-x)$ である。三角形 $APB$ の面積を $[APB]$ と表す。内積と面積の2倍は $$\displaystyle \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =x^2+(1-x)(2-x)=2x^2-3x+2 =2\left(x-\frac34\right)^2+\frac78>0,$$ $$2[APB] =|(-x)(2-x)-(1-x)(-x)|=x.$$ したがって $0<\theta=\angle APB<\pi/2$ で $$\displaystyle \tan\theta=\frac{x}{2x^2-3x+2}.$$ この正接を $h(x)$ とすると $$\displaystyle h'(x)=\frac{(2x^2-3x+2)-x(4x-3)}{(2x^2-3x+2)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(2x^2-3x+2)^2}.$$ $x>0$ で分母は正であり、導関数は $0<x<1$ で正、$x>1$ で負。ゆえに最大は $x=1$ で達成され、$h(1)=1$。鋭角の範囲で正接は単調増加だから $$\displaystyle \boxed{\max\angle APB=\arctan 1=\frac\pi4}.$$ 実際 $x=1$ のとき $P=(1,1)$ は許され、角は $\pi/4$。

独立判定　 最大角は $\pi/4$。内積が常に正であることも確認したため正接最大化に問題なし。数学はPASS。単元：図形と方程式・ベクトル、三角関数、微分。方法：内積/面積比から正接を式にし、微分で最大化。テーマ：固定線分を原点からの対角線上の点から見込む角の最大。

出典判定　 問題ページとSHAは直接確認済み。PDFの「理系・乙」表記自体に医学科選択表はないが、SHA一致の取得provenanceが京都大医前期を示し、冊子は全6問を載せ選択指示を印字しない。既知の不適格指定もなくSOURCE_ELIGIBLE_BY_PROVENANCE_FULL_SETとする。actual model statusは UNVERIFIED。 旧答案との照合　 旧答案の45度（$\pi/4$）と最大となる $x=1$ は一致し、正接の最大化証明も有効。