5京都大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1) $S_n=3^{2^n}-1$ とおく。$n=1$ では $S_1=3^2-1=8=2^3$ であり、$2^4$ では割り切れない。$n\ge2$ では $$S_n=S_{n-1}\bigl(3^{2^{n-1}}+1\bigr).$$ $2^{n-1}$ は偶数なので、$3^{2^{n-1}}$ は奇数の平方であり、$3^{2^{n-1}}\equiv1\pmod 8$。したがって第2因子は2で割り切れ、4では割り切れない。よって$n$が1増すごとに2の因数がちょうど1つ増える。帰納法により$S_n$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れない。

(2) $m=2^tq\ (t\ge1,\ q\text{ は奇数})$ とする。このとき $$3^m-1=(3^{2^t}-1)\left(1+3^{2^t}+\cdots+(3^{2^t})^{q-1}\right).$$ 括弧内は奇数$q$個の奇数の和なので奇数である。(1)を$n=t$に適用すると、$3^{2^t}-1$は$2^{t+2}$で割り切れるが$2^{t+3}$では割り切れない。したがって$2^m\mid3^m-1$ならば$m\le t+2$。

$t=1$なら$m=2q$なので$m\le3$より$q=1$、すなわち$m=2$。$t=2$なら$m=4q$なので$m\le4$より$q=1$、すなわち$m=4$。$t\ge3$なら$m\ge2^t>t+2$（$t=3$で成立し、帰納的にすべての$t\ge3$で成り立つ）となり、$m\le t+2$に反する。ゆえに$m=2$または$m=4$である。実際、$3^2-1=8$は$2^2$で割り切れ、$3^4-1=80$は$2^4$で割り切れる。