1京都大学 2010年 数学 第1問解答・解説

Mを原点とし、$\overrightarrow{MD}$=$\boldsymbol{u}$、$\overrightarrow{MA}$=$\boldsymbol{a}$、$\overrightarrow{MB}$=$\boldsymbol{b}$とおく。MはCDの中点なので$\overrightarrow{MC}$=-$\boldsymbol{u}$である。CA$\perp$ CBより($\boldsymbol{a}$+$\boldsymbol{u}$)$\cdot$($\boldsymbol{b}$+$\boldsymbol{u}$)=0、DA$\perp$ DBより($\boldsymbol{a}$-$\boldsymbol{u}$)$\cdot$($\boldsymbol{b}$-$\boldsymbol{u}$)=0。両式の差から($\boldsymbol{a}$+$\boldsymbol{b}$)$\cdot$$\boldsymbol{u}$=0を得る。またAB$\perp$ CDより($\boldsymbol{b}$-$\boldsymbol{a}$)$\cdot$$\boldsymbol{u}$=0である。これらを連立すると$\boldsymbol{a}$$\cdot$$\boldsymbol{u}$=$\boldsymbol{b}$$\cdot$$\boldsymbol{u}$=0。よってAM$\perp$ CD、BM$\perp$ CDである。A、B、Mは一直線上にない。実際、そうならABとCDの交点Mを通る二直線AB、CDが定める平面にA、B、C、Dがすべて含まれ、四面体であることに反する。したがってAMとBMは平面ABM内で交わる二直線であり、CDはこの平面に垂直である。