1東京医科歯科大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 求める中心の範囲を$\Omega$とする。$0\le x\le2$、$0\le y\le2$のもとで、中心$(x,y)$がこの範囲に入るための必要十分条件は、すべての整数$i,j$について $$\displaystyle (x-i)^2+(y-j)^2\ge\frac14$$ が成り立つことである。 したがって、$\Omega$は正方形$0\le x\le2$、$0\le y\le2$から、$i,j=0,1,2$に対応する9個の格子点$(i,j)$を中心とする半径$1/2$の円の内部を除いた部分である。円周は含む。各単位正方形で残る領域は、辺の中点どうしを結ぶ4本の半径$1/2$の円弧で囲まれる。この部分を図示すればよい。

(2) 中心を$(x,y)$とし、$|x-m|\le1/2$、$|y-n|\le1/2$を満たす整数$m,n$を選ぶ。すると $$\displaystyle (x-m)^2+(y-n)^2\le\frac12<\frac9{16}=\left(\frac34\right)^2$$ だから、格子点$(m,n)$は円$C_2$の内部にある。

(3) 任意の中心$(x,y,z)$に対し、対応する各座標の差の絶対値が$1/2$以下となる整数$m,n,p$を選ぶと、 $$\displaystyle (x-m)^2+(y-n)^2+(z-p)^2\le\frac34.$$ したがって、$r>\sqrt3/2$なら、中心からの距離が$r$未満となる格子点が必ずある。 逆に、中心が$(1/2,1/2,1/2)$のとき、すべての格子点までの距離は$\sqrt3/2$以上である。よって$r\le\sqrt3/2$なら、この球の内部に格子点はない。 以上より、求める範囲は $$\displaystyle r>\frac{\sqrt3}{2}.$$