1大分大学 2010年 数学 第1問解答・解説

半径1の円を考え、その面積を $\pi$ とする。この円に内接する正24角形を $P$、外接する正12角形を $Q$ とおく。包含関係から $$\operatorname{Area}(P)<\pi<\operatorname{Area}(Q).$$

正24角形を中心から三角形24個に分けると、各三角形の中心角は $15^\circ$、両側辺は1である。よって $$\displaystyle \operatorname{Area}(P)=24\cdot\frac12\sin15^\circ=12\sin15^\circ.$$ 加法定理より $\sin15^\circ=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ なので $$\operatorname{Area}(P)=3\sqrt6-3\sqrt2.$$

正12角形 $Q$ の各辺に中心から垂線を下ろすと、できる直角三角形の高さは1、中心角の半分は $15^\circ$。従って半辺の長さは $\tan15^\circ$、1辺の長さは $2\tan15^\circ$。12個の三角形の面積を足すと $$\displaystyle \operatorname{Area}(Q)=12\cdot\frac12(2\tan15^\circ)\cdot1=12\tan15^\circ.$$ また $$\displaystyle \tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ) =\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3.$$ したがって $\operatorname{Area}(Q)=24-12\sqrt3$。これらを面積の包含関係に戻して $$\boxed{3\sqrt6-3\sqrt2<\pi<24-12\sqrt3}.$$