東京医科歯科大学 2002年数学第3問解答・解説

積分法微分法

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1問題

東京医科歯科大学2002年度第3問

正の整数 n に対し, 関数 f_n(x) を次式で定義する。 $\displaystyle f_n(x)=\int_1^x (x-t)^n e^t\,dt\quad(e は自然対数の底)$ このとき以下の各問いに答えよ。

(1) f_1(x), f_2(x) を求めよ。

(2) n $\geq$ 2 のとき, f_n(x)-n f_{n-1}(x) を求めよ。

(3) f_n(x)-f'_n(x) を求めよ。ここで f'_n(x) は f_n(x) の導関数を表す。

(4) n $\geq$ 2 のとき, f_n(x) を続けて (n-1) 回微分して得られる関数を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad f_1=e^x-ex,\space{}f_2=2e^x-e(x^2+1)\quad$ 。 (2) $\quad f_n-nf_{n-1}=-e(x-1)^n\quad$ 。 (3) $\quad f_n-f_n\prime=-e(x-1)^n\quad$ 。 (4) $\quad f_n^{(n-1)}=n!(e^x-ex)\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

部分積分から、 $n\ge2$ で $f_n(x)=nf_{n-1}(x)-e(x-1)^n.$ 初項は $f_1=e^x-ex$ 、 $f_2=2f_1-e(x-1)^2=2e^x-e(x^2+1)$ である。漸化式を反復すると、 $n\ge1$ について $\displaystyle f_n(x)=n!e^x-en!\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{(x-1)^j}{j!}.$ 有限和表示の右辺を $F_n(x)$ と置くと、 $n\ge2$ について $\displaystyle \begin{aligned} nF_{n-1}(x)-e(x-1)^n &=n!e^x-en!\sum\limits _{j=0}^{n-1}\frac{(x-1)^j}{j!}-e(x-1)^n\\ &=n!e^x-en!\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{(x-1)^j}{j!}=F_n(x), \end{aligned}$ となり、一般項が漸化式を満たすことが確認できる。この有限式を微分すると $\displaystyle f'_n=n!e^x-en!\sum\limits _{j=0}^{n-1}(x-1)^j/j!$ だから差は $-e(x-1)^n$ 。また、 $n-1$ 回微分すれば $f_n^{(n-1)}(x)=n!e^x-en!(1+x-1)=n!(e^x-ex).$

この問題で使う考え方

部分積分による漸化式
有限和表示と反復微分

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