2佐賀大学 2023年 数学 第2問解答・解説

解答

1回の抽出値を3で割った余りは、0が確率 $1/2$、1が確率 $1/4$、2が確率 $1/4$ である。和 $S_n$ を3で割った余りが2となる確率を $r_n$ とおけば、$r_n=1-p_n-q_n$。

(1) 次の抽出後に余りが0となるのは、現在の余りと次の余りが $(0,0),(1,2),(2,1)$ の場合である。したがって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac12p_n+\frac14q_n+\frac14r_n =\frac12p_n+\frac14q_n+\frac14(1-p_n-q_n) =\frac{1+p_n}{4}.$$ 余りが1となる場合は $(0,1),(1,0),(2,2)$ なので $$\displaystyle q_{n+1}=\frac14p_n+\frac12q_n+\frac14r_n =\frac14p_n+\frac12q_n+\frac14(1-p_n-q_n) =\frac{1+q_n}{4}.$$

(2) 1回の抽出では $p_1=1/2$, $q_1=1/4$。上の漸化式を定数 $1/3$ からの差で書けば $$\displaystyle p_{n+1}-\frac13=\frac14\left(p_n-\frac13\right),\qquad q_{n+1}-\frac13=\frac14\left(q_n-\frac13\right).$$ よって $$\displaystyle p_n=\frac13+\left(\frac14\right)^{n-1}\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{4^n+2}{3\cdot4^n}, \qquad q_n=\frac13+\left(\frac14\right)^{n-1}\left(\frac14-\frac13\right) =\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}.$$ $4^{-n}\to0$ より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\lim\limits _{n\to\infty}q_n=\frac13.$$