1佐賀大学 2023年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$, $\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$ であるから，$$|\overrightarrow{AB}|^2=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b=4+4=8,$$ $|\overrightarrow{AC}|^2=|\vec c|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec c=3+4-1=6$，また $$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec c-\vec a)=\vec b\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec c+|\vec a|^2=\frac12-0-\frac12+4=4.$$ よって (1) は $8,6,4$ である。(2) について，$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\vec a+s(\vec b-\vec a)+t(\vec c-\vec a)=(1-s-t)\vec a+s\vec b+t\vec c.$$ (3) $OH$ は平面 $ABC$ に垂直なので，$\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ である。(2) の表現を $\vec a+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ と見れば，$$\displaystyle \vec a\cdot\overrightarrow{AB}=\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=-4,\qquad \vec a\cdot\overrightarrow{AC}=\vec a\cdot(\vec c-\vec a)=-\frac72.$$ (1) の値も用いて，$$\displaystyle -4+8s+4t=0,\qquad -\frac72+4s+6t=0,$$ すなわち $2s+t=1$，$\displaystyle 4s+6t=\frac72$ を得る。前者から $t=1-2s$ なので，後者に代入すると $\displaystyle 4s+6(1-2s)=\frac72$，したがって $\displaystyle s=\frac5{16}$，$\displaystyle t=\frac38$ である。(4) では，$$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac5{16}\vec a+\frac5{16}\vec b+\frac6{16}\vec c,$$ よって与えられた内積を用いると，$$\displaystyle |\overrightarrow{OH}|^2=\frac1{256}\left(25|\vec a|^2+25|\vec b|^2+36|\vec c|^2+60\vec a\cdot\vec c+60\vec b\cdot\vec c\right)=\frac{368}{256}=\frac{23}{16}.$$ ゆえに $\displaystyle OH=\frac{\sqrt{23}}4$ である。また $\triangle ABC$ の面積を $S$，$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を $\theta$ とすると，$$\displaystyle \cos\theta=\frac{4}{\sqrt8\sqrt6}=\frac1{\sqrt3},\qquad S=\frac12\sqrt8\sqrt6\sin\theta=\frac12\sqrt8\sqrt6\sqrt{1-\frac13}=2\sqrt2.$$ したがって四面体の体積は $$\displaystyle \frac13 S\cdot OH=\frac13\cdot2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{23}}4=\frac{\sqrt{46}}6.$$