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日本大学／2021年度／N1

日本大学 2021年 数学 第V問解答・解説

微分・積分の考え微分法極限数列

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1問題

日本大学2021年度第V問

共通注意：次の解答欄1〜58のそれぞれには、0から9までの数字または負の符号が入る。解答用紙の同じ番号の欄にマークして答える。分数はすべて既約分数とし、負の分数では符号を分子につける。根号の中の数は最も小さい自然数を用いる。各空欄の下付き数字は問題用紙に印刷された解答欄番号を示す。

(1) f(x)=1+x+x2+x3+⋯+xnf(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n について、x≠1x\neq1 のとき、 f(x)=039−xn+040041−x,f′(x)=042−(n+043)xn+nxn+044(045−x)2.\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{39}}-x^{n+\boxed{\phantom{0}}_{\text{40}}}}{\boxed{\phantom{0}}_{\text{41}}-x},\\ f'(x)&=\frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{42}}-(n+\boxed{\phantom{0}}_{\text{43}})x^n+n x^{n+\boxed{\phantom{0}}_{\text{44}}}}{(\boxed{\phantom{0}}_{\text{45}}-x)^2}. \end{aligned} である。

(2) ∑k=1nk(13)k−1=046047{048−((049)n+3)(13)n}\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n} k\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = \frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{46}}}{\boxed{\phantom{0}}_{\text{47}}} \left\{\boxed{\phantom{0}}_{\text{48}}-((\boxed{\phantom{0}}_{\text{49}})n+3)\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\} となるので、 ∑n=1∞n(13)n−1=050051\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{50}}}{\boxed{\phantom{0}}_{\text{51}}} である。なお、必要ならば lim⁡n→∞nrn=0(∣r∣<1)\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}nr^n=0\quad (|r|<1) を用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

有限等比数列の和を微分して重み k の有限和を表し、x=1/3 を代入した後、問題文で与えられた指数項の極限を用いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)f(x)=1−xn+11−x,f′(x)=1−(n+1)xn+nxn+1(1−x)2;\displaystyle (1)\quad f(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},\quad f\prime(x)=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2};
    (2)∑k=1nk(13)k−1=34{3−(2n+3)(13)n},∑n=1∞n(13)n−1=94.\displaystyle (2)\quad \sum\limits _{k=1}^{n}k\left(\frac13\right)^{k-1}=\frac34\left\{3-(2n+3)\left(\frac13\right)^n\right\},\quad \sum\limits _{n=1}^{\infty}n\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac94.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) x≠1x\ne1 なので、有限等比数列の和より f(x)=1+x+⋯+xn=1−xn+11−x.\displaystyle f(x)=1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}. 商の微分法を用いると f′(x)=(1−x)(−(n+1)xn)−(1−xn+1)(−1)(1−x)2=1−(n+1)xn+nxn+1(1−x)2.\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)\bigl(-(n+1)x^n\bigr)-(1-x^{n+1})(-1)}{(1-x)^2} =\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}. 従って空欄は順に 1,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1 となる。

(2) 有限和の式を微分した形から ∑k=1nk(13)k−1=f′(13)=1−(n+1)(1/3)n+n(1/3)n+1(1−1/3)2.\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k\left(\frac13\right)^{k-1}=f'\left(\frac13\right) =\frac{1-(n+1)(1/3)^n+n(1/3)^{n+1}}{(1-1/3)^2}. ここで (1−1/3)2=4/9(1-1/3)^2=4/9 であり、分子の (1/3)n(1/3)^n の係数は −(n+1)+n3=−2n+33\displaystyle -(n+1)+\frac n3=-\frac{2n+3}{3} だから ∑k=1nk(13)k−1=34{3−(2n+3)(13)n}.\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k\left(\frac13\right)^{k-1} =\frac34\left\{3-(2n+3)\left(\frac13\right)^n\right\}. 従って空欄 4646〜4949 は 3,4,3,23,4,3,2 である。

有限部分和の式で n→∞n\to\infty とする。与えられた極限 nrn→0 (∣r∣<1)n r^n\to0\ (|r|<1) を r=1/3r=1/3 に適用すると、(2n+3)(1/3)n→0(2n+3)(1/3)^n\to0 なので ∑n=1∞n(13)n−1=34⋅3=94.\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}n\left(\frac13\right)^{n-1} =\frac34\cdot3=\frac94. 従って空欄 50,5150,51 は 9,49,4 である。

検算として、n=1n=1 の有限和は1であり、公式も 34{3−5/3}=1\displaystyle \frac34\{3-5/3\}=1 を与える。また、極限で消える項は (2n+3)/3n(2n+3)/3^n で、指定された nrn→0nr^n\to0 と rn→0r^n\to0 の形に分けて確認できる。

この問題で使う考え方

  • 多項式の導関数
  • 商の微分
  • 総和記号と数列の和
  • 数列の極限

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