II鳥取大学 2025年 数学 第II問解答・解説

まず、$\displaystyle \frac{d}{dt}e^{at}=\allowbreak{}ae^{at}$、$\displaystyle \frac{d}{dt}\cos t=\allowbreak{}-\sin t$、$\displaystyle \frac{d}{dt}\sin t=\allowbreak{}\cos t$を用いる。

(1) 積の微分法により、 $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=ae^{at}\cos t-e^{at}\sin t=e^{at}(a\cos t-\sin t),$$ $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=ae^{at}\sin t+e^{at}\cos t=e^{at}(a\sin t+\cos t).$$

(2) よって $$\displaystyle |\vec v|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =e^{at}\sqrt{(a\cos t-\sin t)^2+(a\sin t+\cos t)^2}.$$ ここで、 $$(a\cos t-\sin t)^2+(a\sin t+\cos t)^2 =a^2(\cos^2t+\sin^2t)+(\sin^2t+\cos^2t)=a^2+1$$ だから、$e^{at}>0$に注意して $$|\vec v|=e^{at}\sqrt{a^2+1}.$$

(3) $\vec p=\allowbreak{}(e^{at}\cos t,\allowbreak{}e^{at}\sin t)$であるから、 $$\vec p\cdot\vec v=e^{2at}\{\cos t(a\cos t-\sin t)+\sin t(a\sin t+\cos t)\}=ae^{2at}.$$ また、$|\vec p|=\allowbreak{}e^{at}$、(2)より$|\vec v|=\allowbreak{}e^{at}\sqrt{a^2+1}$である。$e^{at}>0$かつ$a^2+1>0$なので、$\vec p$と$\vec v$はいずれも零ベクトルでなく、角$\theta$は定義される。内積と角の関係から $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec p\cdot\vec v}{|\vec p||\vec v|}=\frac{ae^{2at}}{e^{at}\,e^{at}\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}.$$ 右辺は$t$を含まないので$\cos\theta$は一定である。さらに$0\leq\theta\leq\pi$では余弦の値が角を一意に定めるため、$\theta$も$t$によらない。

(4) $\displaystyle \theta=\allowbreak{}\frac{\pi}{6}$より$\displaystyle \cos\theta=\allowbreak{}\frac{\sqrt3}{2}>0$だから、(3)の式から$a>0$であり、 $$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ 両辺を2乗すると$4a^2=\allowbreak{}3(a^2+1)$、したがって$a^2=\allowbreak{}3$。$a>0$より$$a=\sqrt3.$$