III鳥取大学 2025年 数学 第III問解答・解説

曲線と直線の交点では $$\displaystyle \frac{1}{16}(k^2-4)^2=t$$ が成り立つ。したがって $$k^2-4=\pm4\sqrt{t},\qquad k^2=4\pm4\sqrt{t}.$$ 条件$0\le t\le1$より$4-4\sqrt{t}\ge0$なので、どちらも交点の$k^2$として実現する。ただし$t=0$では両者は$4$に一致する。

次に、回転体を高さ$y$で切る。$0\le y\le t\le1$において、曲線より下側にある領域の半径$r=|x|$は $$\displaystyle \frac{1}{16}(r^2-4)^2\le y\quad\text{すなわち}\quad4-4\sqrt{y}\le r^2\le4+4\sqrt{y}.$$ よって断面は、内半径$\sqrt{4-4\sqrt{y}}$、外半径$\sqrt{4+4\sqrt{y}}$の円環である。左右の領域は$y$軸回転後に同じ円環を作るので、断面積を二重に数えない。したがって $$\displaystyle V(t)=\int_0^t\pi\bigl((4+4\sqrt{y})-(4-4\sqrt{y})\bigr)\,dy=8\pi\int_0^t\sqrt{y}\,dy=\frac{16\pi}{3}t^{3/2}.$$ この式は$t=0$でも$V(0)=0$となる。さらに$0\le t\le1$では$t^{3/2}\ge0$であり、等号は$t=0$のときに限る。よって最小値は$0$、そのとき$t=0$である。

交点では$(k^2-4)^2=16t$ となるため，$k^2=4\pm4\sqrt{t}$。$0\le t\le1$ の範囲で両方が実現し，$t=0$ では一致する。回転体を高さ $y$ の水平断面で見ると，内半径の二乗が $4-4\sqrt{y}$，外半径の二乗が $4+4\sqrt{y}$ の円環である。左右の領域は回転後に重なるので，一方分の断面積 $$\pi((4+4\sqrt{y})-(4-4\sqrt{y}))=8\pi\sqrt{y}$$ を積分し，$\displaystyle V(t)=\frac{16\pi}{3}t^{3/2}$ を得る。これは定義域上非負で，$t=0$ でのみ $0$ となる。