IV鳥取大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

放物線を $y=f(x)=x^2/(2a)$ とおくと、$f'(x)=x/a$。したがって、$T=(t,t^2/(2a))$ における接線の傾きは $t/a$、法線の傾きは $-a/t$ である。よって $$\displaystyle n_t:\quad y-\frac{t^2}{2a}=-\frac at(x-t).$$

(2) 法線 $n_t$ の方向ベクトルを $\boldsymbol u=(1,k)$、$k=-a/t$ とする。反射前の直線 $x=t$ の方向ベクトルは $\boldsymbol v=(0,1)$。$\boldsymbol v$ の $\boldsymbol u$ 方向成分は $\displaystyle \frac{\boldsymbol v\cdot\boldsymbol u}{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u}\boldsymbol u$ であり、反射ではそれを保って垂直成分を反転する。したがって反射後の方向ベクトルは $$\displaystyle \boldsymbol v'=2\frac{\boldsymbol v\cdot\boldsymbol u}{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u}\boldsymbol u-\boldsymbol v =\left(\frac{2k}{1+k^2},\frac{k^2-1}{1+k^2}\right).$$ 第一成分は $k\ne0$ より0でないので、傾きは $$\displaystyle \frac{k^2-1}{2k}=\frac{t^2-a^2}{2at}.$$

(3) $T$ は $x=t$ と反射軸 $n_t$ の交点なので、反射で動かず、反射像の直線 $\ell_t$ 上にある。よって $$\displaystyle y-\frac{t^2}{2a}=\frac{t^2-a^2}{2at}(x-t).$$ これを整理すると $$\displaystyle \ell_t:\quad y=\frac{t^2-a^2}{2at}x+\frac a2,$$ したがって全ての $t\ne0$ について $\ell_t$ は定点 $(0,a/2)$ を通る。

接線の傾きと法線の傾きを求め、法線方向への平行成分の分解で反射後の向きを計算した。法線上の固定点を通ることから反射像の直線を定めた。