I鳥取大学 2025年 数学 第I問解答・解説

公比を $r$ とする。すべての自然数 $n$ について $a_n>0$ なので $r>0$ である。また $$2560(1+r+r^2)=4480$$ より $\displaystyle r^2+r-\frac34=0$、すなわち $\displaystyle (r-\frac12)(r+\frac32)=0$。$r>0$ だから $\displaystyle r=\frac12$ であり、 $$\displaystyle a_n=2560\left(\frac12\right)^{n-1}=5\cdot2^{10-n}.$$ $L=\log_2 5$ とおくと $$\displaystyle \log_2 a_k=L+10-k,\qquad S_n=\sum\limits _{k=1}^n(L+10-k)=\frac n2(2L+19-n),\qquad S_{n+1}-S_n=L+9-n.$$ $2^2<5<2^3$ より $2<L<3$。したがって差 $S_{n+1}-S_n$ は $n\le11$ で正、$n\ge12$ で負である。よって $S_n$ は $n=12$ で最大となる。

次に、問題で与えられた $\log_{10}2=0.301$ を用いると $$\displaystyle L=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}=\frac{0.699}{0.301}=\frac{699}{301},\qquad 2L+19=\frac{7117}{301}=23+\frac{194}{301}.$$ ゆえに $S_n>0$ は $n\le23$ のとき、$S_n<0$ は $n\ge24$ のときである。正の範囲では、差の符号から最小候補は端の $n=1,23$。負の範囲では $S_n$ は減少し続けるので、$|S_n|$ の最小候補は $n=24$ である。候補を与えられた対数値で比べると $$\displaystyle S_1=\frac{3408}{301},\qquad S_{23}=\frac{2231}{301},\qquad |S_{24}|=\frac{1284}{301}.$$ したがって $|S_n|$ が最小となるのは $n=24$ である。