5筑波大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 加法定理より $g(x)=(\sin x+\cos x)/2$。$g(x)=h(x)$ は $\cos x=\sin x$ と同値なので、この区間では $x=\pi/4$。そのとき $y=h(\pi/4)=\sqrt2/2$ であり、交点は $(\pi/4,\sqrt2/2)$。

(2) $f(\alpha)=h(\alpha)$ から $\cos\alpha=3\sin\alpha$。区間内では端点は解ではないから両方正であり、$\tan\alpha=1/3$。恒等式 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ に代入すると $10\sin^2\alpha=1$ なので $$\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt{10}},\qquad \cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}}.$$ また $\tan\alpha=1/3<1=\tan(\pi/4)$ より $0<\alpha<\pi/4$。

(3) 曲線の差は $$\displaystyle g-f=\sin x,\quad g-h=\frac{\cos x-\sin x}{2},\quad f-h=\frac{\cos x-3\sin x}{2}.$$ $0<x<\alpha$ では $\cos x>3\sin x$ なので $g>f>h$。$\alpha<x<\pi/4$ では $\cos x<3\sin x$ かつ $\cos x>\sin x$ なので $g>h>f$。したがって上側の境界は全体で $g$、下側は $0$ から $\alpha$ まで $f$、$\alpha$ から $\pi/4$ まで $h$ となる。 $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^\alpha(g-f)\,dx+\int_\alpha^{\pi/4}(g-h)\,dx\\ &=1-\cos\alpha+\frac12[\sin x+\cos x]_\alpha^{\pi/4}\\ &=1-\frac3{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt2}{2}-\frac2{\sqrt{10}}\\ &=\boxed{1+\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}2}. \end{aligned}$$