III順天堂大学 2007年 数学 第III問解答・解説

(1) 関数$f$が$x=a$で微分可能であるとは、差商 $$\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad(h\ne0)$$ の$h\to0$における極限が有限な実数として存在することをいう。この極限を$f'(a)$と書く。 $$\displaystyle f'(a)=\lim\limits _{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

(2) 微分可能なら連続である。実際、$x\ne a$のとき $$\displaystyle f(x)-f(a)=(x-a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ $x\to a$で第1因子は$0$に近づき、第2因子は微分係数$f'(a)$に近づくので、$f(x)-f(a)\to0$。よって$\displaystyle \lim\limits _{x\to a}f(x)=f(a)$となり、$f$は$a$で連続である。 逆は成り立たない。例えば$f(x)=|x-a|$は$a$で連続だが、差商は$h>0$なら$1$、$h<0$なら$-1$であり、極限が存在しない。したがって$a$で微分可能ではない。

(3) $a<x<b$を満たす$x$を固定し、$h\ne0$を十分小さく取る。積の差商を次のように変形する。 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &=f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} +g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \end{aligned}$$ $f,g$は$x$で微分可能だから、(2)より$f$は$x$で連続であり、$f(x+h)\to f(x)$。また、二つの差商はそれぞれ$g'(x),f'(x)$に近づく。したがって$h\to0$とすると $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =f(x)g'(x)+g(x)f'(x).$$ ゆえに$a<x<b$の範囲で $$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ である。