3北海道大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) $n$ は自然数なので、区間 $n\le x\le n+1$ で $xe^x\ge0$ である。部分積分により $$\displaystyle S_n=\int_n^{n+1}xe^x\,dx =\left[(x-1)e^x\right]_n^{n+1} =e^n\{n(e-1)+1\}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{S_n}{ne^n}=e-1+\frac1n \quad\text{より}\quad \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{ne^n}=e-1}.$$

(2) $xe^x\ge0$ より、円板法で $$\displaystyle V_n=\pi\int_n^{n+1}(xe^x)^2\,dx =\pi\int_n^{n+1}x^2e^{2x}\,dx.$$ 原始関数は $$\displaystyle \int x^2e^{2x}\,dx =e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac14\right)$$ であるから、 $$\displaystyle V_n=\frac{\pi e^{2n}}4 \left\{e^2(2n^2+2n+1)-(2n^2-2n+1)\right\}.$$ また $$S_n^2=e^{2n}\{n(e-1)+1\}^2.$$ よって分子・分母を $n^2e^{2n}$ で割ると $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}\frac{V_n}{S_n^2} &=\frac{\pi}{4}\frac{2(e^2-1)}{(e-1)^2}\\ &=\boxed{\frac{\pi(e+1)}{2(e-1)}}. \end{aligned}$$