4北海道大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) 円柱と円錐の体積を加える。外側の側面は円柱の側面と円錐の側面であり、底面は除くから、$$\displaystyle V=\pi a^2b+\frac{1}{3}\pi a^2c,\qquad S=2\pi ab+\pi a\sqrt{a^2+c^2}.$$ (2)(i) $p=V/(\pi a^3)$ とおくと、体積一定の条件は $p=x+y/3$ である。したがって $x=p-y/3$、また閉領域では $0\le y\le 3p$ であり、$$\displaystyle \frac{S}{\pi a^2}=2p-\frac{2}{3}y+\sqrt{1+y^2}.$$ 右辺の $y$ による導関数と二階導関数は $$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}},\qquad \frac{1}{(1+y^2)^{3/2}}>0.$$ よって停留点が範囲内ならそこで最小となる。停留条件から $y=2/\sqrt{5}$、このとき $x=p-2/(3\sqrt{5})$。したがって $p>2/(3\sqrt{5})$ なら $$\displaystyle T=\pi a^2\left(2p+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2V}{a}+\frac{\sqrt{5}\pi a^2}{3}.$$ 一方、$0<p\le 2/(3\sqrt{5})$ では閉領域で端点 $x=0,y=3p$ が最小となり、$$\displaystyle T_{\mathrm{closure}}=\pi a^2\sqrt{1+9p^2}=\pi a^2\sqrt{1+\frac{9V^2}{\pi^2a^6}}.$$ 高さ $b$ を厳密に正とする場合、この範囲では端点に達しないため最小値は存在せず、同式は下限である。 (2)(ii) 第1の場合の式の二階導関数は $4V/a^3+2\sqrt{5}\pi/3>0$ であり、$$\displaystyle T_1'(a)=-\frac{2V}{a^2}+\frac{2\sqrt{5}\pi}{3}a=0\quad\text{ならば}\quad a^3=\frac{3V}{\pi\sqrt{5}}.$$ このとき $p=\sqrt{5}/3>2/(3\sqrt{5})$ なので停留点は第1の場合の範囲内にある。第2の場合は $u=3p\le 2/\sqrt{5}$ とおけば、$$\displaystyle T_{\mathrm{closure}}'(a)=\frac{\pi a(2-u^2)}{\sqrt{1+u^2}}>0,$$ したがってその範囲では増加する。ゆえに全体の最小値は第1の場合の停留点で与えられる。さらに $x=1/\sqrt{5},\ y=2/\sqrt{5}$ より $$a:b:c=1:1/\sqrt{5}:2/\sqrt{5}=\sqrt{5}:1:2.$$