5北海道大学 2007年 数学 第5問解答・解説

双曲線 $C_2$ の焦点は $\left(\pm\sqrt{a^2+b^2},0\right)$ である。焦点が一致するので、楕円 $C_1$ の長軸も $x$ 軸上にあり、 $$\alpha^2-\beta^2=a^2+b^2,\qquad \alpha^2=a^2+b^2+\beta^2$$ が成り立つ。

交点を $(x,y)$ とする。$C_2$ の式から $x^2=a^2(1+y^2/b^2)$ であり、これを $C_1$ の式に代入すると $$\displaystyle \frac{a^2}{\alpha^2} +y^2\left(\frac{a^2}{\alpha^2b^2}+\frac1{\beta^2}\right)=1$$ となる。したがって $$\displaystyle y^2=\frac{(\alpha^2-a^2)\beta^2b^2}{a^2\beta^2+\alpha^2b^2} =\frac{(\beta^2+b^2)\beta^2b^2}{(a^2+b^2)(\beta^2+b^2)} =\frac{\beta^2b^2}{a^2+b^2}>0.$$ また $$\displaystyle x^2=a^2\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right) =\frac{a^2\alpha^2}{a^2+b^2}>0.$$ よって $x,y\ne0$ であり、両曲線を局所的に $y=y(x)$ と表して微分し、接線の傾きを求められる。$C_1$ の接線の傾きを $m_1$、$C_2$ の接線の傾きを $m_2$ とすると、 $$\displaystyle m_1=-\frac{\beta^2x}{\alpha^2y},\qquad m_2=\frac{b^2x}{a^2y}.$$ ここで $$\displaystyle \frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2\alpha^2}{\beta^2b^2}$$ だから $$\displaystyle m_1m_2=-\frac{\beta^2b^2x^2}{\alpha^2a^2y^2}=-1.$$ したがって、任意の交点における二つの接線は直交する。