3日本大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円上の点$P\ne O$を極座標$(r,\theta)$で表すと、$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$である。これを楕円の方程式に代入すると $$\displaystyle \frac{r^2\cos^2\theta}{4}+(r\sin\theta-1)^2=1,$$ すなわち $$\displaystyle r\left(\frac{r(1+3\sin^2\theta)}4-2\sin\theta\right)=0.$$ $P\ne O$では$r>0$なので $$\displaystyle r=\frac{8\sin\theta}{1+3\sin^2\theta}.$$ なお楕円は原点を含み、原点は半径0の点としてこの極方程式の端点に含まれる。

(2) $s=\sin\theta$とおくと$0\leq s\leq1$であり、 $$1+3s^2-2\sqrt3s=(\sqrt3s-1)^2\geq0.$$ $s>0$では $$\displaystyle r=\frac{8s}{1+3s^2}\leq\frac{8s}{2\sqrt3s}=\frac4{\sqrt3}.$$ 等号は$s=1/\sqrt3$のときに成り立つ。したがって最大値は$\displaystyle \frac4{\sqrt3}$、このとき$\displaystyle \cos\theta=\sqrt{\frac23}$である。点$P$の座標は $$\displaystyle (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)=\left(\frac{4\sqrt2}{3},\frac43\right).$$ この点を楕円の式に代入すると$\displaystyle \frac89+\frac19=1$となり、確かに楕円上にある。

(3) $u=\cos\theta$とおくと、$du=-\sin\theta\,d\theta$、積分区間は$u=1$から$u=0$へ移る。よって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}r\,d\theta=8\int_0^1\frac{du}{4-3u^2}.$$ ここで $$\displaystyle \frac8{4-3u^2}=\frac2{2-\sqrt3u}+\frac2{2+\sqrt3u}$$ と部分分数分解できる。両辺を積分して $$\displaystyle 8\int_0^1\frac{du}{4-3u^2} =\frac2{\sqrt3}\log\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3} =\frac2{\sqrt3}\log(7+4\sqrt3).$$ したがって求める値は$\displaystyle \frac2{\sqrt3}\log(7+4\sqrt3)$である（$\log$は自然対数）。