4札幌医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

単位円の点 $\alpha$ における接線は $\xi+\alpha^2\bar\xi=2\alpha$。これが $P(w)$ を通る条件は $\bar w\alpha^2-2\alpha+w=0$ だから、接点 $\alpha,\beta$ について $$\displaystyle \alpha+\beta=\frac2{\bar w},\qquad \alpha\beta=\frac w{\bar w}。$$ 弦 $AB$ の式 $\xi+\alpha\beta\bar\xi=\alpha+\beta$ は、整理すると $\bar w\xi+w\bar\xi=2$。交点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので $q=sw$（$s$ は実数）とおくと、この式から $2s|w|^2=2$。よって $q=1/\bar w$。実軸に関する反射は共役を取るため $$\displaystyle z=\bar q=\frac1w。\tag{1}$$

(2) より $z=1/2$ の逆像は $\gamma=2$、$z=i/2$ の逆像は $\delta=-2i$。$w=u+iv$ とすると $z=(u-iv)/(u^2+v^2)$。線分端点を結ぶ直線は $\Re z+\Im z=1/2$ なので $$\displaystyle \frac{u-v}{u^2+v^2}=\frac12\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (u-1)^2+(v+1)^2=2。$$ これは中心 $1-i$、半径 $\sqrt2$ の円で、$O,\gamma,\delta$ を通る。

(3) 線分①を $z(t)=((1-t)+it)/2$（$0\le t\le1$）とおく。逆像は端点で $2,-2i$、$t=1/2$ で $2-2i$。従って描かれるのは、中心 $1-i$、半径 $\sqrt2$ の円上で $2$ から $-2i$ へ $2-2i$ を通る半円。

弧②は $\displaystyle z=\tfrac12e^{i\theta}$（$\pi/2\le\theta\le2\pi$）と表せる。よって $w=2e^{-i\theta}$ となり、半径2の円上を $-2i$ から $2$ へ時計回りに $3\pi/2$ 進む弧である。これは $-2,2i$ を通る。以上の2弧をつないだ軌跡を図示する。

答え

(1) $z=1/w$（$|w|>1$）。(2) $\gamma=2,\ \delta=-2i$。円 $(u-1)^2+(v+1)^2=2$ 上。(3) $2$ から $-2i$ へ $2-2i$ を通る、中心 $1-i$・半径 $\sqrt2$ の半円と、$-2i$ から $2$ へ時計回りに進み $-2,2i$ を通る半径2の円の $3/4$ 弧。図はTeXに添付。