1金沢大学 2002年 数学 第1問解答・解説

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。ここで $0<c,s<1$ である。楕円 $C$ を $x^2+y^2/a^2=1$ と表す。

(1) 接点を $P=(u,v)$ とすると、楕円の接線は $$\displaystyle ux+\frac{v}{a^2}y=1.$$ この直線は $A=(1/c,0)$ を通るので $u=c$。また点 $P$ は曲線 $C$ 上にあり、$v>0$ なので $v=as$。したがって $$\displaystyle \boxed{P=(c,as)},\qquad \boxed{\ell:\ cx+\frac{s}{a}y=1}.$$

(2) 楕円の弧面積を先に求める。$x=c$ から $x=1$ までの楕円下の面積は $$\displaystyle E=\int_c^1 a\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac a2(\theta-cs).$$ 直線 $\ell$ と $x=-1$ の交点は $B=(-1,a(1+c)/s)$。$x=-1$ から $x=c$ までの直線下の台形面積は $$\displaystyle T_1=\frac{1+c}{2}\left(\frac{a(1+c)}s+as\right) =\frac{a(1+c)^2(2-c)}{2s}.$$ 楕円の $-1\leq x\leq c$ 部分の面積は $\pi a/2-E$ だから $$\displaystyle S_1=T_1-\left(\frac{\pi a}{2}-E\right) =\frac a2\left(\frac{(1+c)^2(2-c)}s-cs-\pi+\theta\right).$$ また、$P$ から $(1/c,0)$ までの直線と $x$ 軸でできる三角形の面積は $as(1/c-c)/2=as^3/(2c)$。ここから楕円部分 $E$ を引くと $$\displaystyle S_2=\frac a2\left(\frac{s^3}{c}-\theta+cs\right) =\boxed{\frac a2(\tan\theta-\theta)}.$$

(3) $B$ の座標と「$P$ が $AB$ の中点」という条件の $x$ 座標を比べると $$\displaystyle c=\frac{1/c-1}{2},\qquad 2c^2+c-1=0.$$ $0<c<1$ なので $c=1/2,\ \theta=\pi/3,\ s=\sqrt3/2$。このとき $P$ の $y$ 座標も $B$ との中点の $y$ 座標に一致する。面積式に代入して $$\displaystyle S_1=a\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right),\qquad S_2=\frac a2\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right),$$ ゆえに $\boxed{S_1=2S_2}$。