大分大学 2017年数学第1問解答・解説

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1問題

大分大学2017年度第1問

同じ大きさと重さの白石と黒石がそれぞれ $m$ 個と $n$ 個ある。これらの石から $k$ 個を無作為に抽出し、その中の白石の数を $X$ とする。ただし、 $m,n,k$ は自然数で $1\leq k<m,\quad 1\leq k<n$ である。以下の問いに答えなさい。

(1) 整数 $i$ に対して $X=i$ の確率 $p(i,k\mid m,n)$ を求めなさい。ただし、組合せの記号 ${}_{q}C_{r}$ を用いて結果を表現しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

組合せで全体の場合の数とX=iとなる場合の数を数え、その比を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad p(i,k\mid m,n)=\begin{cases}\dfrac{{}_mC_i\,{}_nC_{k-i}}{{}_{m+n}C_k} & (0\le i\le k),\\[4pt]0 & (i<0\text{ または }i>k).\end{cases}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

白石と黒石を区別して考える。全部で ${}_{m+n}C_k$ 通りの選び方があり、各選び方は同様に確からしい。 $X=i$ となるには、 $m$ 個の白石から $i$ 個、 $n$ 個の黒石から $k-i$ 個を選べばよいから、有利な選び方は ${}_mC_i{}_nC_{k-i}$ 通りである。条件 $1\le k<m,\ 1\le k<n$ より、 $0\le i\le k$ なら白石・黒石の個数はいずれも選べる範囲にあり、これ以外の整数 $i$ では $X=i$ は起こらない。したがって $\displaystyle p(i,k\mid m,n)=\begin{cases}\dfrac{{}_mC_i{}_nC_{k-i}}{{}_{m+n}C_k} & (0\le i\le k),\\0 & (i<0\text{ または }i>k).\end{cases}$

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則

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