2獨協医科大学 2021年 2日目 数学 第2問解答・解説

A答案 Q2 — 獨協医科大学 2021

関数の決定

部分積分により $$\displaystyle \int_0^x(x-t)\cos t\,dt =\left[(x-t)\sin t\right]_0^x+\int_0^x\sin t\,dt =1-\cos x.$$ したがって $$f(x)=x-2(1-\cos x)=2\cos x+x-2.$$ よって $\text{ア}=2,\ \text{イ}=2$。

(1) $f(x)=k$ が区間内に異なる3解をもつ条件

$h(x)=f(x)$ とすると $$h'(x)=1-2\sin x.$$ $0\le x\le2\pi$ では、臨界点は $\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$。導関数の符号から、$h$ は最初に増加し、次に減少し、最後に増加する。各端点・極値は $$\displaystyle h(0)=0,\quad h\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3-2+\frac{\pi}{6},\quad h\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt3-2+\frac{5\pi}{6},\quad h(2\pi)=2\pi.$$ 水平線 $y=k$ が3つの単調部分それぞれと交わるのは、$\displaystyle 0\leq k<h(\frac{\pi}{6})$ の場合に限る。下端 $k=0$ では $x=0$ と両側の内部交点があり3解、上端では極大点が重なるため2解となる。よって $$\displaystyle \boxed{0\leq k<\sqrt3-2+\frac{\pi}{6}}.$$ 箱は $(\text{ウ},\text{エ},\text{オ},\text{カ})=(0,3,2,6)$。

(2) 変曲点の接線と対称和

$$f''(x)=-2\cos x$$ は $0\le x\le\pi$ で $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ を境に符号が変わる。従って変曲点は $$\displaystyle P\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}-2\right).$$ 傾きは $\displaystyle f'(\frac{\pi}{2})=-1$ なので、接線は $$\displaystyle y-\left(\frac{\pi}{2}-2\right)=-\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \quad\text{整理すると}\quad \boxed{y=-x+\pi-2}.$$ また $$f(\pi-x)= -2\cos x+\pi-x-2$$ より $$\displaystyle \boxed{\frac{f(x)+f(\pi-x)}2=\frac{\pi}{2}-2}.$$ よって $\text{キ}=2,\ \text{ク}=2,\ \text{ケ}=2$。

(3) 積分条件と絶対値積分

$$g(x)=-x+\pi-2,\qquad f(x)-g(x)=2x+2\cos x-\pi.$$ 原始関数を $$F(x)=x^2+2\sin x-\pi x$$ とおく。積分条件は $$\displaystyle F(a)-F\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=0,\qquad F\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{7\pi^2}{36}-1.$$ $\displaystyle a=\frac{7\pi}{6}$ を代入すると $$\displaystyle F\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{7\pi^2}{36}-1,$$ 従って条件を満たす。さらに $2x+2\cos x-\pi$ は導関数 $2-2\sin x\geq0$ により単調増加し、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ で0となる。積分はそこまで減少し、その後増加するため、積分値が再び0となる $\displaystyle a>-\frac{\pi}{6}$ はこの値に限られる。したがって $$\displaystyle \boxed{a=\frac{7\pi}{6}}.$$ 絶対値を外す境目は $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\pi/6}^{7\pi/6}|f(x)-g(x)|\,dx &=\left(F\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) +\left(F\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\\ &=\boxed{\frac89\pi^2-6}. \end{aligned}$$ 箱は $(\text{コ},\text{サ})=(7,6)$、$(\text{シ},\text{ス},\text{セ},\text{ソ})=(8,9,2,6)$。

最終答案

$f(x)=2\cos x+x-2$。 (1) $\displaystyle 0\leq k<\sqrt3-2+\frac{\pi}{6}$。 (2) 接線 $y=-x+\pi-2$、対称和 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-2$。 (3) $\displaystyle a=\frac{7\pi}{6}$、絶対値積分 $\displaystyle \frac89\pi^2-6$。

使用解法：部分積分、微分による増減・変曲点判定、水平線とグラフの交点数、原始関数と符号による絶対値積分。 issues：なし。